Cho phương trình \({4^{ - \left| {x - m} \right|}}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{ - {x^2} + 2x}}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện xác định: \(x \in R\).
Xét phương trình \({4^{ - \left| {x - m} \right|}}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{ - {x^2} + 2x}}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\)
\(\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow {2^{ - 2\left| {x - m} \right| + 1}}.{\log _{\sqrt 2 }}\left[ {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2} \right] = {2^{ - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\\ \;\;\;\;\; \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 2x + 1}}.o{g_{\sqrt 2 }}\left[ {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2} \right] = {2^{2\left| {x - m} \right|}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right) \end{array}\)
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = {2^t}{\log _2}\left( {t + 2} \right),\;t > 2.\)
Ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2.{\log _2}\left( {t + 2} \right) + {2^t}.\frac{1}{{\left( {t + 2} \right)\ln 2}} > 0\;\forall t \ge 0.\)
Mà f(t) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) suy ra f(t) đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).
Phương trình (2) có dạng \(f\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = f\left( {2\left| {x - m} \right|} \right)\) và \({x^2} - 2x + 1 = \left( {x - 1} \right) \ge 0;\;2\left| {x - m} \right| \ge 0,\;\forall x \in R.\)
Do đó \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 2\left| {x - m} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} - 2x + 1 = 2\left( {x - m} \right)\\ {x^2} - 2x + 1 = 2\left( {m - x} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} - 4x + 1 = - 2m\;\;\;\left( * \right)\\ - {x^2} - 1 = - 2m\;\;\;\;\;\;\;\left( {**} \right) \end{array} \right.\)
Phương trình (1) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi (2) có 3 nghiệm phân biệt.
Dựng các parabol: \(y = {x^2} - 4x + 1\;\left( {{P_1}} \right)\) và \(y = - {x^2} - 1\;\left( {{P_2}} \right)\) trên cùng 1 hệ trục tọa độ.
.png)
Số lượng nghiệm của (*) và (**) bằng số giao điểm của đường thẳng d:y = - 2m lần lượt với các đồ thị (P1) và (P2).
Dựa vào đồ thị có thể thấy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt thì d phải nằm ở các vị trí của \({d_1},{d_2},{d_3}\).
Tương ứng khi đó:
\(\begin{array}{l} - 2m = - 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\\ - 2m = - 2 \Leftrightarrow m = 1\\ - 2m = - 3 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2} \end{array}\)
Do đó có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu: \(m = \frac{1}{2};\;m = 1;\;m = \frac{3}{2}.\)
Vậy \(S = \left\{ {\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}} \right\}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 2\) thì tích phân \(\int\limits_0^3 {\left[ {x - 3f\left( x \right)} \right]dx} \) có giá trị bằng:
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào có cùng tập xác định với hàm số \(y = {x^{\frac{1}{5}}}\)?
-
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy và \(SA = BC = a\sqrt 3 \). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2;-1). Hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục Oz là điểm:
-
Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \(4{z^2} - 16z + 17 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz0?
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
.PNG)
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {{{\sin }^4}x + \cos 2x + m} \right|\) bằng 2. Số phần tử của S là:
-
Cho số thực \(a > 0,\;a \ne 1\). Giá trị \({\log _{\sqrt {{a^3}} }}\sqrt[3]{{{a^2}}}\) bằng:
-
Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22, tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tính tổng các lập phương của bốn số đó.
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + {x^2}\) là:
-
Xếp ngẫu nhiên 5 bạn An, Bình, Cường, Dũng, Đông ngồi vào 1 dãy 5 ghế thẳng hàng (mỗi bạn ngồi 1 ghế). Tính xác suất để hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau.
-
Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức \(m\left( t \right) = {m_0}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{T}}}\). Trong đó, là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0), m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã. Biết chu kì bán rã của một chất phóng xạ là 24 giờ. Ban đầu có 250 gam, hỏi sau 36 giờ thì chất đó còn lại bao nhiêu gam? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-3;2) và chứa trục Oz. Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) là một vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Tính \(M = \frac{{b + c}}{a}\).
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + x + 2\) và đường thẳng y = - 2x + 1 là:
-
Cho hai số phức \({z_1} = 5 - 7i,\;{z_2} = 2 - i\). Mô-đun của hiệu hai số phức đã cho bằng:
-
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} + 2x - 8} \right) \ge - 4\).
-
Có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh từ 20 học sinh lớp 11A ?
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng BA’ và B’D’ bằng:
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {9 - 2x} \right)\) là:
-
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
