Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,\,b\,\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\) và \(\left| z-6 \right|\) lớn nhất. Tính giá trị của \(S=a+b\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTrong mp tọa độ \(Oxy\), Ta gọi các điểm biểu diễn của các số phức:
\(z=x+yi\) là \(M\left( x\,;\,y \right)\);
\(z=-4+0i\) là \({{F}_{1}}\left( -4\,;\,0 \right)\);
\(z=4+0i\) là \({{F}_{2}}\left( 4\,;\,0 \right)\);
Ta có: \(\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\)\(\Rightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=10\). (1)
\(\left\{ \begin{align} & M{{F}_{1}}^{2}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \\ & M{{F}_{2}}^{2}={{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}} \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow M{{F}_{1}}^{2}-M{{F}_{2}}^{2}=16x\Rightarrow M{{F}_{1}}-M{{F}_{2}}=\frac{8x}{5}\).(2)
Từ (1) và (2), suy ra \(M{{F}_{1}}=5+\frac{4x}{5}\).
Mặt khác \(M{{F}_{1}}^{2}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\)\(\Rightarrow {{\left( 5+\frac{4x}{5} \right)}^{2}}={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\).
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn \(\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\) là Elip có phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1\).
Theo đề, ta cần tìm điểm thuộc \(\left( E \right)\) sau cho \(\left| z-6 \right|\) lớn nhất.
Ta gọi các điểm biểu diễn số phức
\(z=6+0i\) là \(A\left( 6\,;\,0 \right)\);
\(z=a+bi\) là \(M\left( a\,;\,b \right)\in \left( E \right)\);
\(z=-5+0i\) là \(C\left( -5\,;\,0 \right)\).
Do đó, \(\left| z-6 \right|\) lớn nhất khi và chỉ khi \(MA\) lớn nhất.
.PNG)
Dựa, vào hình vẽ trên ta thấy để \(MA\) lớn nhất khi \(M\equiv C\left( -5\,;\,0 \right)\Rightarrow a=-5;\,b=0\Rightarrow S=-5\).
Chọn B
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Hữu Trang
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
-
Tìm tham số \(m\) để ĐTHS \(y=\frac{\left( m+1 \right)x-5m}{2x-m}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\)?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho 2 điểm \(A\left( -2\,;-1\,;\,3 \right)\) và \(B\left( 0\,;\,3\,;\,1 \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\). Một vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) có tọa độ là?
-
Ký hiệu \({{z}_{1}},\text{ }{{z}_{2}}\) là 2 nghiệm phức của pt \({{z}^{2}}+2z+11=0\). Khi đó giá trị biểu thức \(A={{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}}\) bằng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng?
-
Cho CSN \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1,\,\,{{u}_{2}}=-2\). Giá trị của \({{u}_{2019}}\) bằng?
-
Cho 1 chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng \(4\,m\,,\,AB\,=\,4\,m\). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \(CDEF\,\), phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?
.PNG)
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 0\,;\,1\,;\,1 \right)\), \(B\left( 2\,;\,-1\,;\,1 \right)\), \(C\left( 4\,;\,1\,;\,1 \right)\) và \(\left( P \right)\,:\,x+\,y+z-6\,=\,0\). Xét điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt GTNN. Giá trị của \(\,2a+4b+c\) bằng?
-
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{2}}\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|-{{\log }_{2}}\left| x+3 \right|=3\) bằng?
-
Môđun của số phức sau đây \(z=(-4+3i).i\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách giữa \(\left( P \right):x+2y+2z=0\) & \(\left( Q \right):x+2y+2z-12=0\) bằng?
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có diện tích bằng \(4\pi \). Tính thể tích khối cầu \(\left( S \right)\)?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh \(SA\) vuông góc với mp đáy và \(SA=2a\), gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\). Tính côsin của góc \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(BM\) và \(\left( ABC \right)\)?
-
Tập nghiệm của BPT \({{\log }_{2}}\left( 4x+8 \right)-{{\log }_{2}}x\le 3\) là?
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau \(f\left( x \right)=x.\sin 2x\) là?
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+2\) có đồ thị như hình dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({{x}^{3}}-3x+2-2m=0\) có 3 nghiệm thực phân biệt?
.PNG)
-
Hàm số sau \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}} \right){{\left( x+2 \right)}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số là?
-
Cho 2 số thực \(a\),\(b\) thoả mãn \(2{{\log }_{3}}\left( a-2b \right)={{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b\) và \(a>2b>0\). Khi đó \(\frac{a}{b}\) bằng?
-
Họ nguyên hàm của hàm số sau đây \(f\left( x \right)=\frac{1}{x}\) là?
-
Cho một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t)=180-20t\,\left( m/s \right)\). Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm \(t=0\,(~s\,)\) đến thời điểm mà vật dừng lại?
