Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\). Tìm giá trị lớn nhất của \(T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z=x+yi,\,\,\left( x,\,y\in \mathbb{R} \right)\)
Ta có, số phức z thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=3\)
Suy ra, tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn thỏa mãn \(\left| z+1 \right|=\sqrt{3}\) là một đường tròn có tâm \(I\left( -1\,;\,0 \right)\) và bán kính \(r=\sqrt{3}\).
Gọi \(M\left( x\,;\,y \right)\in C\left( I,\sqrt{3} \right)\)
\(\Rightarrow T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\)
\(=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}\), với \({{I}_{1}}\left( -4\,;\,1 \right),\,\,{{I}_{2}}\left( 2\,;\,-1 \right)\)
Ta có, \(\overrightarrow{I{{I}_{1}}}=\left( -3\,;\,1 \right),\,\overrightarrow{I{{I}_{2}}}=\left( 3\,;\,-1 \right)\). Suy ra \(\overrightarrow{I{{I}_{1}}},\,\,\overrightarrow{I{{I}_{2}}}\) cùng phương và 3 điểm \(I,\,\,{{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) thẳng hàng.
Ta lại có, I là trung điểm của \({{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) và \(\left| \overrightarrow{I{{I}_{1}}} \right|=\sqrt{10}>r,\,\,\left| \overrightarrow{I{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{10}>r\). Suy ra các điểm \({{I}_{1}},\,\,{{I}_{2}}\) nằm ngoài đường tròn \(C\left( I,\sqrt{3} \right)\)
Ta có, hình biểu diễn tập hợp các điểm M.
.jpg.png)
Mặt khác: \(M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2}=2M{{I}^{2}}+\frac{{{I}_{1}}{{I}_{2}}^{2}}{2}=2.3+20=26\), với \(\left| \overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}} \right|=\sqrt{26},\,\,\,\,\,\overrightarrow{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}=\left( 6\,;-2 \right)\)
Ta có, \(T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le \sqrt{2\left( M{{I}_{1}}^{2}+M{{I}_{2}}^{2} \right)}\Rightarrow T=M{{I}_{1}}+M{{I}_{2}}\le 2\sqrt{13}\)
Vậy, giá trị lớn nhất của \(T=\left| z+4-i \right|+\left| z-2+i \right|\) bằng \(2\sqrt{13}\) khi và chỉ khi \(M{{I}_{1}}=M{{I}_{2}}\Rightarrow \Delta M{{I}_{1}}{{I}_{2}}\) cân tại M.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Cừ lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\left( \frac{1}{1+{{a}^{2}}} \right)}^{2x+1}}>1\) là
-
Cho hàm số \(y=f(\,x\,)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ sau
.png)
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Có bao nhiêu số phức z có phần thực bằng 2 và \(\left| z+1-2i \right|=3\)?
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( 3;-2;5 \right), N\left( -1;6;-3 \right)\). Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=\left( x+2 \right){{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( 3-x \right)\). Hàm số đạt cực tiểu tại
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{4}}\). Hàm số \(g\left( x \right)=f'\left( x \right)-3{{x}^{2}}-6x+1\) đạt cực tiểu, cực đại lần lượt tại \({{x}_{1}},\text{ }{{\text{x}}_{2}}\). Tính \(m=g\left( x{{ }_{1}} \right)g\left( {{x}_{2}} \right)\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có một nguyên hàm là \(F\left( x \right)\). Biết \(F\left( 1 \right)=8\), giá trị \(F\left( 9 \right)\) được tính bằng công thức
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2;-1) và mặt phẳng (P):x+z-2=0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là
-
Cho hàm số có \({f}'\left( x \right)\) và \({f}''\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \({f}'\left( 2 \right)=4\) và \({f}'\left( -1 \right)=-2,\) tính \(\int\limits_{-1}^{2}{{f}''\left( x \right)\text{d}x}\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ \frac{1}{2};\,\,2 \right]\) và thỏa điều kiện \(f\left( x \right)+2.f\left( \frac{1}{x} \right)=3x\,\,\,\forall x\in {{\mathbb{R}}^{*}}\). Tính \(I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}\).
-
Cho biết \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}\text{d}x=3,\,\,\int\limits_{0}^{5}{f\left( t \right)}\text{d}t=10\). Tính \(\int\limits_{3}^{5}{2f\left( z \right)}\text{d}z\).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t\\ y = 1 + 2t\\ z = 3 + t \end{array} \right.\) có một véctơ chỉ phương là
-
Cho hàm số \(y=\frac{x-1}{x+2}\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
-
Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy R=4cm và đường sinh l=5cm bằng:
-
Một biển quảng cáo có dạng Elip với bốn đỉnh \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{1}},{{B}_{2}}\). như hình vẽ. Người ta chia Elip bởi parapol có đỉnh \({{B}_{1}}\), trục đối xứng \({{B}_{1}}{{B}_{2}}\) và đi qua các điểm M, N.Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/\({{m}^{2}}\) và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng/\({{m}^{2}}\).Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết \({{A}_{1}}{{A}_{2}}=4m,{{B}_{1}}{{B}_{2}}=2m,\text{ }MN=2m\).
-
Điểm \(A\) trong hình bên dưới là điểm biểu diễn số phức \(z\).
.jpg.png)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho n và k là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn \(k\le n\) mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, \(SA\bot \left( ABCD \right)\). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( -3\ ;\ -2\ ;\ 1 \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) là điểm:
-
Cho hàm số y = g(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
.jpg.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?
