Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=1\). GTLN của biểu thức \(P=\left| {{z}^{3}}-z+2 \right|\) là:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z=x+yi\text{ }\left( x,\text{ }y\in \mathbb{R} \right)\).
Theo giả thiết, \(\left| z \right|=1\Rightarrow z.\overline{z}=1\) và \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\).
\(P=\left| z \right|.\left| {{z}^{2}}-1+2\overline{z} \right|=\left| {{z}^{2}}-1+2\overline{z} \right|=\left| {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi-1+2x-2yi \right|=\left| \left( {{x}^{2}}+2x-{{y}^{2}}-1 \right)+2y\left( x-1 \right)i \right|\)
\(=\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+2x-{{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}+4{{y}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+2x-1+{{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+4\left( 1-{{x}^{2}} \right){{\left( x-1 \right)}^{2}}}\) (vì \({{y}^{2}}=1-{{x}^{2}}\))
\(=\sqrt{16{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-16x+8}\).
Vì \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Rightarrow {{x}^{2}}=1-{{y}^{2}}\le 1\Rightarrow -1\le x\le 1\).
Xét hàm số \(f\left( x \right)=16{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-16x+8,\text{ }x\in \left[ -1\,;\,1 \right]\).
\({f}'\left( x \right)=48{{x}^{2}}-8x-16\). \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{1}{2}\in \left[ -1\,;\,1 \right] \\ & x=\frac{2}{3}\in \left[ -1\,;\,1 \right] \\ \end{align} \right.\)
\(f\left( -1 \right)=4; f\left( -\frac{1}{2} \right)=13; f\left( \frac{2}{3} \right)=\frac{8}{27}; f\left( 1 \right)=4\).
\(\Rightarrow \underset{\left[ -1\,;\,1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( -\frac{1}{2} \right)=13\).
Vậy \(\max P=\sqrt{13}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Marie Curie lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 0\,;\,5 \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{5}{x{f}'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}\text{d}x=8}; f\left( 5 \right)=\ln 5\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{5}{{{e}^{f\left( x \right)}}\text{d}x.}\)
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=16\). Tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu \(\left( S \right)\) là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) bằng
.PNG)
-
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho khối nón có bán kính đáy \(r=\sqrt{3}\) và chiều cao h=4. Tính thể tích V của khối nón đã cho
-
Cho đường thẳng d: \(\frac{x}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+1}{2}\) và mặt phẳng (P): x-y-z-2=0. Phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (P) là
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \({{z}^{3}}=1\)?
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+3}{-1}\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của \(\Delta \)?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((\alpha )\): \(x-2y+2\text{z}-3=0.\) Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng \((\alpha )\)?
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;3]\) và \(\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=1,\,\,\int\limits_{2}^{3}{f(x)dx}=4.\) Tính \(\int\limits_{0}^{3}{f(x)dx}.\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm sau đây?
-
Một mảnh vườn hoa dạng hình tròn có bán kính bằng 5m. Phần đất trồng hoa là phần tô trong hình vẽ bên. Kinh phí trồng hoa là 50.000 đồng/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền cần để trồng hoa trên diện tích phần đất đó là bao nhiêu, biết hai hình chữ nhật ABCD và MNPQ có AB=MQ=5m?
.png)
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Điểm \(M(3;-1)\) biểu diễn số phức
-
Tung đồng thời hai con xúc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác xuất để số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc đều là số chẵn.
-
Đồ thị hàm số \(y=2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x+2\) cắt parabol \(y=-6{{x}^{2}}-4x-4\) tại một điểm duy nhất. Kí hiệu \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là tọa độ điểm đó. Tính giá trị của biểu thức \({{x}_{0}}+{{y}_{0}}\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.PNG)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
.PNG)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {\sin x} \right)\)
-
Ta có \(C_{n}^{k}\) là số các tổ hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử \(\left( 1\le k\le n \right)\). Chọn mệnh đề đúng.
-
Cho bất phương trình \(m{{.9}^{x}}+\left( m-1 \right){{.16}^{x}}+4\left( m-1 \right){{.12}^{x}}>0\) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng \(\left( \text{0 };\text{ 10} \right)\) để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).
