Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh AC sao cho AB = 2AM, đường tròn tâm I đường kính CM cắt BM tại D, đường thẳng CD có phương trình \(x - 3y - 6 = 0.\) Biết I(1;-1), điểm \(E\left( {\frac{4}{3};0} \right)\) thuộc đường thẳng BC, \({x_C} \in Z.\) Biết điểm B có tọa độ (a;b). Khi đó:

A. \(a+b=1\)

B. \(a+b=0\)

C. \(a+b=-1\)

D. \(a+b=2\)

Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC} = {90^0}\) nên tứ giác BADC nội tiếp.

Gọi J là trung điểm BC thì J là tâm đường tròn ngaoijt iếp tứ giác BADC.

Suy ra \(JI \bot CD.\)

Đường thẳng JI đi qua I(1;-1) và vuông góc với CD có phương trình là \(3x+y-2=0\)

Gọi \(K = IJ \cap CD \Rightarrow K\) là trung điểm CD.

Tạo độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 3y - 6 = 0\\
3x + y - 2 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {\frac{6}{5}; - \frac{8}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {IK} = \left( {\frac{2}{5}; - \frac{6}{5}} \right).\)

\(C \in CD:x - 3y - 6 = 0 \Rightarrow C\left( {3c + 6;c} \right)\)

Ta lại có \(\Delta MBA \sim \Delta MCD \Rightarrow \frac{{MD}}{{CD}} = \frac{{MA}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow CD = 3MD\)

\( \Leftrightarrow {\left( { - \frac{{48}}{5} - 6c} \right)^2} + {\left( { - \frac{{16}}{5} - 2c} \right)^2} = 9.\frac{8}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
c = - 1\\
c = - \frac{{11}}{5}
\end{array} \right..\)

Do \({x_C} \in Z\) nên nhận \(c = - 1 \Rightarrow C\left( {3; - 1} \right).\)

Đường thẳng BC đi qua hai điểm C, E nên có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow {EC} = \left( {\frac{5}{3}; - 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {5; - 3} \right)\)

Suy ra phương trình BC: \(3x + 5y - 4 = 0.\)

\(J = BC \cap IJ,\) tọa độ điểm J là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
3x + 5y - 4 = 0\\
3x + y - 2 = 0
\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\)

J là trung điểm BC \( \Rightarrow B\left( { - 2;2} \right).\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}
a = - 2\\
b = 2
\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 0.\)

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài