Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC=3BM, \(BD=\frac{3}{2}BN\), AC=2AP. Mặt phẳng \(\left( MNP \right)\) chia khối tứ diện ABCD thành 2 phần có thể tích là \({{V}_{1}},{{V}_{2}}\). Tính tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\)?

A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{26}}{{19}}\)

B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{3}{{19}}\)

C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{15}}{{19}}\)

D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{26}}{{13}}\)

Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Trong \(\left( BCD \right)\) gọi \(E=MN\cap CD\).

Trong \(\left( ACD \right)\) gọi \(Q=AD\cap PE\).

Khi đó thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( MNP \right)\) là tứ giác MNQP.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác BCD ta có:

\(\frac{MB}{MC}.\frac{EC}{ED}.\frac{ND}{NB}=1\Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{EC}{ED}.\frac{1}{2}=1\Leftrightarrow \frac{EC}{ED}=4\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD ta có:

\(\frac{PA}{PC}.\frac{EC}{ED}.\frac{QD}{QA}=1\Rightarrow 1.4.\frac{QD}{QA}=1\Rightarrow \frac{QD}{QA}=\frac{1}{4}\)

Ta có: \({{V}_{ABMNQ}}={{V}_{ABMN}}+{{V}_{AMNP}}+{{V}_{ANPQ}}\)

+) \(\frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{BCD}}}=\frac{BM}{BC}.\frac{BN}{BD}=\frac{1}{3}.\frac{2}{3}=\frac{2}{9}\Rightarrow \frac{{{V}_{ABMN}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{2}{9}\)

+) \(\frac{{{V}_{AMNP}}}{{{V}_{AMNC}}}=\frac{AP}{AC}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{AMNP}}=\frac{1}{2}{{V}_{AMNC}}\)

\(\frac{{{S}_{NMC}}}{{{S}_{DBC}}}=\frac{d\left( N;BC \right).MC}{d\left( D;BC \right).BC}=\frac{NB}{DB}.\frac{MC}{BC}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{AMNC}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{AMNP}}=\frac{2}{9}{{V}_{ABCD}}\)

+) \(\frac{{{V}_{APQN}}}{{{V}_{ACDN}}}=\frac{AP}{AC}.\frac{AQ}{AD}=\frac{1}{2}.\frac{4}{5}=\frac{2}{5}\Rightarrow {{V}_{APQN}}=\frac{2}{5}{{V}_{ACDN}}\)

\(\frac{{{S}_{CND}}}{{{S}_{CBD}}}=\frac{DN}{DB}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{{{V}_{ACDN}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{APQN}}=\frac{2}{15}{{V}_{ABCD}}\)

\(\Rightarrow {{V}_{ABMNQ}}={{V}_{ABMN}}+{{V}_{AMNP}}+{{V}_{ANPQ}}=\frac{2}{9}{{V}_{ABCD}}+\frac{2}{9}{{V}_{ABCD}}+\frac{2}{15}{{V}_{ABCD}}=\frac{26}{45}{{V}_{ABCD}}\).

Gọi \({{V}_{1}}={{V}_{ABMNQ}},{{V}_{2}}\) là thể tích phần còn lại \(\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{26}{19}\).

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài