Cho tứ diện SABC và G là trọng tâm của tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG và cắt các cạnh SB, SC tương ứng tại M, N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\frac{{{V_{S,AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}}\) là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\frac{{SM}}{{SB}} = a;\frac{{SN}}{{SC}} = b\left( {0 < a;b < 1} \right)\)
Lấy E là trung điểm BC.
Trong (SAE), kéo dài AG cắt SE tại I. Khi đó \(I \in MN\) và I là trọng tâm tam giác SBC.
Khi đó trong tam giác SBC ta luôn có \(\frac{{SB}}{{SM}} + \frac{{SC}}{{SN}} = 3\) (tính chất đã được chứng minh ở trên)
Lại có \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = ab\)
Ta có \(\frac{{SB}}{{SM}} + \frac{{SC}}{{SN}} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 3.\)
Xét \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\mathop \ge \frac{2}{{\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge \frac{2}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow ab \ge \frac{4}{9}\)
Dấu = xảy ra khi \(a = b = \frac{2}{3}.\)
Từ đó \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = ab \ge \frac{4}{9}\) hay tỉ số \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}}\) nhỏ nhất là bằng \(\frac{4}{9}.\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Sở GD & ĐT Bắc Ninh lần 2