Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y) với \(x \le 2020\) thỏa mãn điều kiện \({\log _2}\frac{{x + 2}}{{y + 1}} + {x^2} + 4x = 4{y^2} + 8y + 1\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({\log _2}\frac{{x + 2}}{{y + 1}} = 4{y^2} - {x^2} - 4x + 8y + 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2} \right) - {\log _2}\left( {y + 1} \right) = 4{\left( {y + 1} \right)^2} - {\left( {x + 2} \right)^2} + 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\left( {x + 2} \right)^2} = {\log _2}2\left( {y + 1} \right) + {\left[ {2\left( {y + 1} \right)} \right]^2}\,\,\left( 1 \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + {t^2}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2t > 0\,\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f(t)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 2} \right) = f\left( {2y + 2} \right) \Leftrightarrow x + 2 = 2y + 2 \Leftrightarrow x = 2y\).
Mà \(0 < x \le 2020 \Rightarrow 0 < y \le 1010\).
Vậy có 1010 cặp số nguyên dương (x;y).
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của A(2;1;1) lên mặt phẳng có tọa độ (Oyz) là
-
Thể tích của một khối lập phương cạnh \(\dfrac12\) bằng:
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({4^x} - {3.2^x} + 2 > 0\) là:
-
Xét các số thực a, b thỏa mãn: \({\log _8}({4^a}{.8^b}) = {\log _4}1\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Cho cấp số nhân với u1 = 3 và u2 = 9. Công sai của cấp số cộng đã cho là:
-
Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a thì có diện tích toàn phần bằng
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = -3i là điểm nào dưới đây ?
-
Cho hàm số f(x), có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = \sin x.{\cos ^2}2x,\forall x \in R\). Khi đó \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)} dx\) bằng
-
Cho hàm số bậc ba y = f(x)
.png)
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 7\) và trục hoành là:
-
Trong buổi lễ phát thưởng cho các học sinh tiêu biểu, lớp 12A có 1 học sinh, lớp 12B có 4 học sinh, lớp 12C có 5 học sinh. Các học sinh được xếp thành một hàng ngang sao cho học sinh lớp 12A luôn đứng giữa một học sinh lớp 12B và một học sinh lớp 12C. Có bao nhiêu cách xếp như vậy?
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của f'(x) như sau. Điểm cực đại của hàm số trên là
.png)
-
Tập xác định của hàm số: \(y = {x^{\frac{2}{3}}}\) là
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{2020x}}\).
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.png)
-
Trong không gian Oxyz, Cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = - 1 - t\\ z = 1 \end{array} \right.\)
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 3z + 1 = 0\) song song với mặt phẳng nào dưới đây ?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} + mx - \frac{3}{{2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^4} - 6{x^2} - 9\) trên đoạn [-1;4] bằng
-
Thể tích V của khối cầu có bán kính R = 4 bằng
