Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc khoảng (-10;10) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right) - 1} }}{{x + 2}}\) có đúng ba đường tiệm cận?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 - \frac{m}{x}} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{m}{x}} - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = 1\) hay y = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 - \frac{m}{x}} - 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 - \frac{m}{x}} - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{2}{x}}} = - 1\) hay y = -1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Do đó bài toán thỏa khi và chỉ khi đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một tiệm cận đứng.
Ta lại có: \(y = \frac{{\sqrt {x\left( {x - m} \right)} - 1}}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - mx - 1}}{{\left( {x + 2} \right)(\sqrt {x\left( {x - m} \right)} + 1)}}\)
Để đồ thị hàm số chỉ có duy nhất một đường TCĐ thì x =- 2 không là nghiệm của tử và x=-2 thuộc tập xác định của hàm số.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 2( - 2 - m) \ge 0\\
{( - 2)^2} - m.( - 2) - 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge - 2\\
2m + 3 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge - 2\\
m \ne - \frac{3}{2}
\end{array} \right..\)
Do \(m \in ( - 10;10),m \in Z\) nên \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;...;8;9} \right\}\) và có 12 giá trị thỏa mãn.
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Thăng Long lần 1
