Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -10;10 \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng \(\forall x\in \mathbb{R}:{{\left( 6+2\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( 3-\sqrt{7} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x}}\ge 0\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChia cả 2 vế của bất phương trình cho \({{2}^{x}}>0\) ta được: \({{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}+\left( 2-m \right){{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}-\left( m+1 \right)\ge 0\)
Nhận xét: \({{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}.{{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=1\), do đó khi ta đặt \(t={{\left( 3+\sqrt{7} \right)}^{x}}\left( t>0 \right)\Rightarrow {{\left( \frac{3-\sqrt{7}}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}\).
Phương trình trở thành: \(t+\left( 2-m \right)\frac{1}{t}-\left( m+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\left( m+1 \right)t+2-m\ge 0\)
\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t+2\ge m\left( t+1 \right)\Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}=f\left( t \right)\text{ }\forall t>0\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-t+2}{t+1}\left( t>0 \right)\) ta có: \(f'\left( t \right)=\frac{\left( 2t-1 \right)\left( t+1 \right)-{{t}^{2}}+t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}+2t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1 \\ & t=-3 \\ \end{align} \right.\)
BBT
.PNG)
Từ BBT \(\Rightarrow m\le 1\).
Kết hợp điều kiện đề bài \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & m\in \mathbb{R} \\ & m\in \left[ -10;1 \right] \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) có 12 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Một khối gỗ hình lập phương có thể tích \({{V}_{1}}\). Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ đó thành một khối trụ có thể tích là \({{V}_{2}}\). Tính tỉ số lớn nhất \(k=\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}\)?
-
Cho hàm số y = f(x) bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Phát biểu nào sau đây đúng?
-
Đặt \(a={{\log }_{2}}5,b={{\log }_{3}}5\). Hãy biểu diễn \({{\log }_{6}}5\) theo a và b.
-
Hai đồ thị của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x-1\) và \(y=3{{x}^{2}}-2x-1\) có tất cả bao nhiêu điểm chung?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm \(A\left( 1;0;2 \right),B\left( -2;1;3 \right),C\left( 3;2;4 \right), D\left( 6;9;-5 \right)\). Tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;2;0 \right),C\left( 0;0;3 \right)\). Thể tích tứ diện OABC bằng:
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\) và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(f\left( x \right)-1=m\) có đúng 2 nghiệm.
-
Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh \({{S}_{xq}}\) của hình nón là:
-
Cho mặt phẳng (P) đi qua các điểm \(A\left( { - 2;0;0} \right),B\left( {0;3;0} \right),C\left( {0;0; - 3} \right)\). Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;2 \right]\) và \(f\left( 2 \right)=16;\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=4\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{1}{xf'\left( 2x \right)dx}\).
-
Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0\) là:
-
Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Tính thể tích khối tứ diện ABCB'C'.
-
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) và \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=4\). Kết quả \(I=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{1+{{e}^{x}}}dx}\) bằng:
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có tổng n số hạng đầu tiên là \({{S}_{n}}={{6}^{n}}-1\). Tìm số hạng thứ năm của cấp số cộng đã cho
-
Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số của tập \(X = \left\{ {1;3;5;8;9} \right\}\).
-
Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=x-\sqrt{4-{{x}^{2}}}\). Khi đó M-m bằng:
-
Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC=3BM, \(BD=\frac{3}{2}BN\), AC=2AP. Mặt phẳng \(\left( MNP \right)\) chia khối tứ diện ABCD thành 2 phần có thể tích là \({{V}_{1}},{{V}_{2}}\). Tính tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\)?
-
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \). Tính xác suất để số được chọn luôn có mặt chữ số 2 và thỏa mãn \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\).
