Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|\) có 5 điểm cực trị.

A. 26

B. 16

C. 27

D. 44

Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có đạo hàm của \(\left( \left| f\left( x \right) \right| \right)'=\left( \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)} \right)'=\frac{2f\left( x \right).f'\left( x \right)}{2\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)}}=\frac{f\left( x \right).f'\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|},\) suy ra

Đạo hàm \(y'=\frac{\left( 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x \right)\left( 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right)}{\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|}\), từ đây ta có

Xét phương trình

\(\left( 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x \right)\left( 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right)=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 12{x^3} - 12{x^2} - 24x = 0\\ 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 2\\ 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} = - m\left( * \right) \end{array} \right.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}\) trên \(\mathbb{R}\) và \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 2 \end{array} \right..\)

Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) như sau:

Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của \(y'=0\) và số điểm tới hạn của \(y'\) là 5, do đó ta cần có các trường hợp sau

TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1; 0; 2 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m > 0\\ - 32 < - m < - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < 0\\ 5 < m < 32 \end{array} \right.,\) trường hợp này có 26 số nguyên dương.

TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm \( - 1;0;2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m = 0\\ - m = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 5 \end{array} \right.,\) trường hợp này có một số nguyên dương.

Vậy có tất cả là 27 số nguyên dương thỏa mãn bài toán

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài