Có bao nhiêu số nguyên a \(\left( a>3 \right)\) để phương trình \(\log \left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\) có nghiệm \(x>81\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(\log \left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\) (1)
+ Với \(x>81\), suy ra \({\log _3}x > 4\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{{\log }_3}x} \right)^{\log a}} + 3 > 0\\ {\log _3}x - 3 > 0 \end{array} \right.\).
+ Ta có (1) \(\Leftrightarrow \log a.{{\log }_{a}}\left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{a}}{{\left( {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right)}^{\log a}}={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\)
\(\Leftrightarrow {{\left( {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right)}^{\log a}}={{\log }_{3}}x-3\).
+ Đặt \(y={{\log }_{3}}x\Rightarrow y>4\).
Đặt \(m=\log a>0\). Ta có phương trình \({{\left( {{y}^{m}}+3 \right)}^{m}}=m-3\) (2).
+ Đặt \(t={{y}^{m}}+3>0\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {t^m} = y - 3\\ t = {y^m} + 3 \end{array} \right. \Rightarrow {y^m} + y = {t^m} + t\) (3).
+ Xét hàm \(f\left( t \right)={{t}^{m}}+t\) với \(m>0,\,\,t>0\) có \(f\left( t \right)=m.{{t}^{m-1}}+1>0,\,\,\forall t>0\).
Suy ra \(f\left( t \right)={{t}^{m}}+t\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0\,;+\,\infty \right)\).
+ Do đó (3) \(\Leftrightarrow y=t\Leftrightarrow y={{y}^{m}}+3\Leftrightarrow {{y}^{m}}=y-3\Leftrightarrow m.\log y=\log \left( y-3 \right)\) \(\Leftrightarrow m=\frac{\log \left( y-3 \right)}{\log y}\)
Với \(y>4\) ta được: \(0<\frac{\log \left( y-3 \right)}{\log y}<1\).
Do a nguyên và a>3 nên \(a\in \left\{ 4\,;5\,;6\,;7;8\,;9 \right\}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
.jpg.png)
Điểm cực đại của hàm số đã cho là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) biết hàm số \(y={{f}'}'(x)\) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Đặt \(g(x)=2f\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)+f\left( -{{x}^{2}}+6 \right)\), biết rằng \(g(0)>0\) và \(g\left( 2 \right)<0\). Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y=\left| g\left( x \right) \right|\).
-
Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;-2;1 \right)\) và \(B\left( 0;2;1 \right)\)
-
Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m sao cho có đúng 5 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thoả mãn \(0\le x\le m\) và \({{\log }_{3}}\left( 3x+6 \right)-2y=\frac{{{9}^{y}}-x}{2}\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 3{x^2} + 6x\,\,\,\,\,khi\,x \ge 2\\ \frac{2}{{2x - 5}}\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x < 2 \end{array} \right.\). Tích phân \(I=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f({{\ln }^{2}}x)}{x\ln x}}dx\) bằng
-
Một hình nón có bán kính đáy \(r=4\)cm và độ dài đường sinh \(l=5\)cm. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA\bot \left( ABC \right)\). Mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) cách \(A\) một khoảng bằng \(a\) và hợp với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) một góc \(30{}^\circ \). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
.png)
Hàm số \(f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x+3m-1\). Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=5\) và \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( x \right)\text{d}x}=-3\) thì \(\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( x \right)-3g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2x \right)=4\)
-
Gọi \(M,\ m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\) trên đoạn \(\left[ -1;\ 2 \right]\). Tính giá trị biểu thức \(P=M-2m\).
-
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(|z|={{2021}^{2}}\) và \(\left( z+2021i \right)\left( \bar{z}-\frac{1}{2021} \right)\) là số thuần ảo?
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{2}}={{x}_{1}}+2\) ; \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0\) và \(\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{5}{4}\). Tính \(L=\underset{x\to \,{{x}_{1}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\,f\left( x \right)-2\,}{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}\).
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-3\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Nghiệm của phương trình \({{3}^{4x-2}}=81\) là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+7x \right)>2\) là
-
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ?
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(\log a=x,\,\,\log b=y\) . Tính \(P=\log \left( \frac{{{a}^{3}}}{{{b}^{5}}} \right)\)
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( 2\,;\,-3\,;\,1 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 6\,;\,1\,;\,3 \right)\) có phương trình là
