Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {{Z}^{2}} \right|=\left| Z-\overline{Z} \right|\) và \(\left| \left( Z-2 \right)\left( \overline{Z}-2i \right) \right|={{\left| Z+2i \right|}^{2}}\)?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}
\left| {\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z - 2i} \right)} \right| = {\left| {z + 2i} \right|^2} \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right|\left| {\overline z - 2i} \right| = \left| {z + 2i} \right|\left| {\overline z - 2i} \right|\\
\Leftrightarrow \left| {\overline z - 2i} \right|.\left( {\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right|} \right)
\end{array}\)
TH1: \(\left| {\overline z - 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow \overline z = 2i \Leftrightarrow z = - 2i\)
TH2: \(\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right| = \left| {z + 2i} \right| = 0\)
Đặt z = x + yi ta có z - 2 = x - 2 + y.i và z + 2i = x + (y + 2).i
Khi đó
\(\begin{array}{l}
\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right| \Leftrightarrow {\left( {z - 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\
\Leftrightarrow - 4x = 4y \Leftrightarrow x = - y
\end{array}\)
Lại có
\(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z - \overline z } \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2\left| y \right| \Leftrightarrow 2{y^2} = 2\left| y \right| \Leftrightarrow 2\left| y \right|.\left( {\left| y \right| - 1} \right) = 0\).
⇔ y = 0 hoặc \(y = \pm 1\)
Do đó ta có các số z \(\in\) {0; 1; -i; -1+i; -2i} thỏa mãn
Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu hỏi liên quan
-
Biết F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên R và \(\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx=F(4)-G(0)+a}\) (a > 0). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = F(x) y = G(x) x = 0 và x = 4. Khi S = 8 thì a bằng
-
Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (Oxy) là:
-
Phần áo của số phức z = (2 - i)(1 + i) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [-2;5] của tham số m để phương trình f(x) = m có 2 nghiệm thực phân biệt?
.JPG)
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 3 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC'A') bằng
.JPG)
-
Có bao nhiều giá trị nguyên âm của tham số a để hàm số \(y=\left| {{x}^{4}}+a{{x}^{2}}-8x \right|\) có đúng ba điểm cực trị?
-
Số nghiệm thực của phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+1}}=4\) là:
-
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 120° và chiều cao bằng 3. Gọi (S) là mặt cầu đi qua đỉnh chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của (S) bằng
-
Cho các số phức \({{Z}_{1}},{{Z}_{2}},{{Z}_{3}}\) thỏa mãn \(2\left| {{Z}_{1}} \right|=2\left| {{Z}_{2}} \right|=\left| {{Z}_{3}} \right|=2\) và \(\left( {{Z}_{1}}+{{Z}_{2}} \right){{Z}_{3}}=3{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}\) Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của \({{Z}_{1}},{{Z}_{2}},{{Z}_{3}}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng y = 1 là
-
Số phức nào dưới đây có phần ảo bằng phần ảo của số phức w = 1 - 4i?
-
Cho \(a={{3}^{\sqrt{5}}},b={{3}^{2}}\) và \(c={{3}^{\sqrt{6}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thảo mãn \(({4^b} - 1)(a{.3^{b\;\;}} - 10) < 0\)?
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình bên). Gía trị sin của góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD) bằng
.JPG)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=x+1\) với mọi \(x\in R\). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Tập xác định của hàm số \(y={{\log }_{2}}\left( x-1 \right)\) là:
-
Từ các chữ số 1, 2, 3 4, 5 lập được bao nh số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một klhác nhau?
-
Nghiệm của phương trình \({{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( 2\text{x}-1 \right)=0\) là
-
Cho khối chóp và khối lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng bằng nhau và có thể tích lần lượt là \(V_1, V_2\). Tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\left( 1;-4;0 \right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left( -1;-2;1 \right)\). Vectơ \(\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}\) có toạ độ là:
