Đặt \(f\left( n \right) = {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} + 1\). Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} = \frac{{f\left( 1 \right).f\left( 3 \right).f\left( 5 \right)...f\left( {2n - 1} \right)}}{{f\left( 2 \right).f\left( 4 \right).f\left( 6 \right)...f\left( {2n} \right)}}\). Tính \(\lim n\sqrt {{u_n}} \)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(g\left( n \right) = \frac{{f\left( {2n - 1} \right)}}{{f\left( {2n} \right)}} \Rightarrow g\left( n \right) = \frac{{{{\left( {4{n^2} - 2n + 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {4{n^2} + 2n + 1} \right)}^2} + 1}}\)
Đặt \(\left. \begin{array}{l}a = 4{n^2} + 1\\b = 2n\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \pm 2b = {\left( {2n \pm 1} \right)^2}\\a = {b^2} + 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow g\left( n \right) = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + 1}} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2} + 1}}{{{a^2} + 2ab + {b^2} + 1}} = \frac{{{a^2} - 2ab + a}}{{{a^2} + 2ab + a}} = \frac{{a - 2b + 1}}{{a + 2b + 1}} = \frac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}}\)
\( \Rightarrow {u_n} = \prod\limits_{i = 1}^n {g\left( i \right)} = \frac{2}{{10}}.\frac{{10}}{{26}}...\frac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2} + 1}}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}} = \frac{2}{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} + 1}}\)
\( \Rightarrow \lim n\sqrt {{u_n}} = \lim \sqrt {\frac{{2{n^2}}}{{4{n^2} + 4n + 2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2018
Trường THPT Nguyễn Trung Trực
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.
-
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(AA' = \frac{{3a}}{2}\). Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó
-
Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 4x} - \sqrt {{x^2} - 3x} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận ngang ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng \({45^0}\). Gọi \({V_1},\,{V_2}\) lần lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H;K lần lượt là trung điểm của SC và SD . Tính độ dài đường cao của khối chóp S.ABCD và tỉ số \(k = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)
-
Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \({\log _9}x = {\log _6}y = {\log _4}\left( {x + y} \right)\) và \(\frac{x}{y} = \frac{{ - a + \sqrt b }}{2}\), với a, b là hai số nguyên dương. Tính \(a + b\)
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + ax + by + cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {19} \), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 2 - 4t\\z = - 1 - 4t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - y - 3z - 1 = 0\). Trong các số \(\left\{ {a;b;c;d} \right\}\) theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn \(a + b + c + d = 43\), đồng thời tâm I của (S) thuộc đường thẳng d và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)?
-
Kí hiệu \({Z_0}\) là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = {i^{2017}}{z_0}\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ là nghiệm phương trình \(2f'\left( x \right) - x.f''\left( x \right) - 6 = 0\)
-
Biết \({x_1},\,{x_2}\), là hai nghiệm của phương trình \({\log _7}\left( {\frac{{4{x^2} - 4x + 1}}{{2x}}} \right) + 4{x^2} + 1 = 6x\) và \({x_1} + 2{x_2} = \frac{1}{4}\left( {a + \sqrt b } \right)\) với a, b là hai số nguyên dương. Tính \(a + b\)
-
Cho hàm số có \(y = \frac{{ax - b}}{{x - 1}}\) đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
.PNG)
-
Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,\,b \in \mathbb{R}} \right)\). Biết tập hợp các điểm A biểu diễn hình học số phức z là đường tròn (C) có tâm I(4;3) và bán kính R = 3 . Đặt M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của \(F = 4a + 3b - 1\). Tính giá trị M + m
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 2\overrightarrow k ,\,\,B\left( { - 2;2;0} \right)\) và \(C\left( {4;1; - 1} \right)\). Trên mặt phẳng (Oxz), điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A, B, C.
-
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;a} \right]\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right).f\left( {a - x} \right) = 1\\f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;a} \right]\end{array} \right.\) và \(\int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} = \frac{{ba}}{c}\), trong đó b, c là hai số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó \(b + c\) có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Trong các hàm sau đây, hàm số nào không nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 4} \right),\,\,B\left( {1; - 3;1} \right),\,\,C\left( {2;2;3} \right)\). Tính đường kính l của mặt cầu (S) đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy)
-
Cho hai hàm số \(F\left( x \right) = \left( {{x^2} + ax + b} \right){e^{ - x}}\) và \(f\left( x \right) = \left( { - {x^2} + 3x + 6} \right){e^{ - x}}\). Tìm a và b để \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tìm điều kiện của m để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 3 nghiệm phân biệt.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {5^x}{.8^{2{x^3}}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
-
Cho phương trình \(\cos [2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)] + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}\). Khi đặt \(t = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\), phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?
-
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2ax + b\) có điểm cực tiểu \(A\left( {2; - 2} \right)\). Khi đó \(a + b = ?\)
