Giả sử đồ thị hàm số \(y = ({m^2} + 1){x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + 1\) có 3 điểm cực trị là A, B, C mà \({x_A} < {x_B} < {x_c}\). Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của \(m\) để thể tích của khối tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}
y' = 4\left( {{m^2} + 1} \right){x^3} - 4mx = 4x\left[ {\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - m} \right]\\
+ y'\left( 0 \right)4x\left[ {\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} - m} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} \left( {m > 0} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
+ Với m > 0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (với \(x_A, x_B, x_C\)) là:
\(A\left( { - \sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} ; - \frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}} + {m^2} + 1} \right);B\left( {0;{m^2} + 1} \right);C\left( {\sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} ; - \frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}} + {m^2} + 1} \right)\)
+ Quay tam giác ABC quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là:
\(V = 2.\frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{2}{3}\pi B{I^2}.IC = \frac{2}{3}\pi {\left( {\frac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}} \right)^2}\sqrt {\frac{m}{{{m^2} + 1}}} = \frac{2}{3}\pi \sqrt {\frac{{{m^9}}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^5}}}} \)
+ Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{m^9}}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^5}}}\)
Có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{m^8}\left( {9 - {m^2}} \right)}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^6}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow m = 3\left( {m > 0} \right)\)
Ta có BBT:
.PNG)
Vậy thể tích cần tìm lớn nhất khi m = 3
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Một hình trụ có bán kính đáy \(r=a\), độ dài đường sinh \(l=2a\). Diện tích toàn phần của hình trụ này là:
-
Cắt hình trụ (T) bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng \(30cm^2\) và chu vi bằng 26cm. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ (T). Diện tích toàn phần của (T) là:
-
Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
.png)
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có \(A\left( { - 3;0} \right),{\rm{ }}B\left( {3;0} \right)\) và \(C\left( {2;6} \right).\) Gọi \(H\left( {a;b} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC Tính \(6ab\)
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({\log _2}2a\)bằng
-
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đối xứng với đồ thị của hàm số \(y = {a^x}\,(a > 0,\,a \ne 1)\) qua điểm \(I\left( {1;\,1} \right)\). Giá trị của biểu thức \(f\left( {2 + {{\log }_a}\frac{1}{{2018}}} \right)\) bằng
-
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?
.png)
-
Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập phương chứa đầy nước. Đặt vào trong thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng.
.png)
-
Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} - (2m + 1){x^2} + (3 - m)x + 2\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = f(\left| x \right|)\) có 3 điểm cực trị.
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 1\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)
-
Một nhóm có 10 người, cần chọn ra ban đại diện gồm 3 người. Số cách chọn là:
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{{{\log }_2}\left( {5 - x} \right)}}\)
-
Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng:
-
Cho \({\log _{12}}3 = a\). Tính \({\log _{24}}18\) theo \(a\).
-
Khối nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng \(15\pi \). Tính thể tích V của khối nón (N).
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{m{{\log }_2}x - 2}}{{{{\log }_2}x - m - 1}}\) nghịch biến trên \(\left( {4; + \infty } \right)\).
-
Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 2}}\) đi qua giao điểm hai đường tiệm cận?
-
Cho tứ diện ABCD có \(AB = AC,DB = DC.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?
