Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m sao cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 27x + 3m - 2\) đạt cực trị tại \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 5\). Biết \(S = \left( {a;b} \right]\). Tính \(T = 2b - a\) ?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTXĐ : \(D = R\)
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx + 27\)
Để hàm số có 2 điểm cực trị \({x_1};{x_2} \Rightarrow \) Phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Ta có \(\Delta ' = 9{m^2} - 81 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < - 3\end{array} \right.\)
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 9\end{array} \right.\).
Theo bài ta có :
\(\begin{array}{l}\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 5 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} \le 25 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} \le 25\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 36 \le 25 \Leftrightarrow {m^2} \le \dfrac{{61}}{4} \Leftrightarrow - \dfrac{{\sqrt {61} }}{2} \le m \le \dfrac{{\sqrt {61} }}{2}\end{array}\)
Kết hợp điều kiện ta có \(m \in \left( {3;\dfrac{{\sqrt {61} }}{2}} \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = \dfrac{{\sqrt {61} }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow T = 2b - a = \sqrt {61} - 3\).
Chọn C.