Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m đồ thị (C) của hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 5\) có ba cực trị, đồng thời ba điểm cực trị với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của S.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có:
\(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 5 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4{m^2}x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = m\\
x = - m
\end{array} \right.\)
Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì \(m \ne 0.\)
Khi đó, tọa độ ba điểm cực trị là: \(A\left( {0;{m^4} + 5} \right),B( - m;5),C(m;5)\)
Dễ dàng chứng minh: \(\Delta ABO = \Delta ACO \Rightarrow \angle B = \angle C\)
Mà tứ giác ABOC nội tiếp, nên \(\angle B + \angle C = {180^0} \Rightarrow \angle B = \angle C = {90^0}\)
Khi đó, \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow ( - m).( - m) + ( - {m^4}).5 = 0 \Leftrightarrow - 5{m^4} + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2}\left( {1 - 5{m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0(ktm)\\
m = \pm \frac{1}{{\sqrt 5 }}(tm)
\end{array} \right.\)
Vậy tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài có 2 phần tử là \( \pm \frac{1}{{\sqrt 5 }}.\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh
