Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w=\dfrac{1}{|z|-z}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{8}\). Xét các số phức \(z_1, z_2 \in S\) thỏa mãn \(\left|z_1-z_2\right|=2\), giá trị lớn nhất của \(P=\left|z_1-5 i\right|^2-\left|z_2-5 i\right|^2\) bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử z=x+y i, với \(x, y \in \mathbb{R}\) và điều kiện \(|z|-z \neq 0 \Leftrightarrow\begin{cases}m \leq 0 \\ -10<m<6\end{cases}\).
Ta có: \(w=\dfrac{1}{|z|-z}=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)+y i}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)^2-y^2}+\dfrac{y}{\left(\sqrt{x^2+y^2}-x\right)^2+y^2} i\).
Theo giả thiết, ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)}^2} + {y^2}}} = \frac{1}{8}\\
\Leftrightarrow 8\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right) = 2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} \\
\Leftrightarrow 4\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4 \vee \sqrt {{x^2} + {y^2}} - x = 0
\end{array}\)
TH1: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
y = 0
\end{array} \right.\)
TH2: \(\sqrt{x^2+y^2}=4 \Leftrightarrow x^2+y^2=16\).
Gọi \(z_1=x_1+y_1 i; z_2=x_2+y_2 i \Rightarrow x_1^2+y_1^2=16; x_2^2+y_2^2=16\).
Ta có: \(\left|z_1-z_2\right|=2 \Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=4\).
Xét \(P=\left|z_1-5 i\right|^2-\left|z_2-5 i\right|^2=x_1^2+\left(y_1-5\right)^2-x_2^2-\left(y_2-5\right)^2=-10\left(y_1-y_2\right)\) \(\Rightarrow P \leq 10\left|y_1-y_2\right|=10 \sqrt{4-\left(x_1-x_2\right)^2} \leq 20\).
Dấu ” = “xảy ra khi và chỉ khi \(x_1=x_2\) và \(\left|y_1-y_2\right|=2\).
Kết luận: Giá trị lớn nhất của \(P=20\).
Đề thi minh họa tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán
Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng \((P): 2 x-3 y+4 z-1=0\) có một vectơ pháp tuyến là:
-
Với a, b thỏa mãn \(\log _2 a-3 \log _2 b=2\), khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h. Thể tích V của khối lăng trụ đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
-
Có bao nhiêu số nguyên a, sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất bốn số nguyên \(b \in(-12; 12)\) thỏa mãn \(4^{a^2+b} \leq 3^{b-a}+65\)?
-
Từ một hộp chứa 16 quả cầu gồm 7 quả màu đỏ và 9 quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả. Xác suất để lấy được hai quả có màu khác nhau bằng
-
Trên đoạn [1; 5], hàm số \(y=x+\dfrac{4}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
-
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;-2; 3), B(1; 3; 4), C(3;-1; 5). Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\begin{cases}x=1+2t\\y=2-2t\\z=-3-3t\end{cases}\) đi qua điểm nào dưới đây?
-
Nếu \(\displaystyle\int_2^5 f(x) \mathrm{d} x=2\) thì \(\displaystyle\int_2^5 3 f(x) \mathrm{d} x\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \(\log _2(x+4)=3\) là
-
Cho hình nón đỉnh S có bán kinh đáy bằng \(2 \sqrt{3} a\). Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB=4 a. Biết khoảng cách từ tâm của đấy đến mặt phẳng (SAB) bằng 2a, thế tích của khối nón đã cho bằng.
-
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
.JPG)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thoả mãn \(\left(4^x-5.2^{x+2}+64\right) \sqrt{2-\log (4 x)} \geq 0\).
-
Cho số phức z thỏa mãn \(i\overline{z}=5+2i\). Phần ảo của z bằng
-
Cho cấp số cộng \(\left(u_n\right)\) với \(u_1=7\) và công sai d=4. Giá trị của \(u_2\) bằng
-
Tập xác định của hàm số \(y=x^{\sqrt{2}}\) là
-
Cho hàm số \(f(x)=1+\sin x\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
-
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{3x+2}{x-2}\) là đường thẳng có phương trình:
-
Cho hình trụ có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l. Diện tích xung quanh \(S_{\rm x q}\) của hình trụ đã cho được tính theo công thức nào dưới đây?
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(2^x>6\) là
