Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}\), trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCách 1: Phương trình hoành độ giao điểm \(2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}} \right]}^2}} {\rm{d}}x = 4\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}{{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = {\left( {x - 1} \right)^2}\\
{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = 2\left( {x - 1} \right)\\
v = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow V = \left. {4\pi {{\left( {x - 1} \right)}^2}\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - 4\pi \int\limits_0^1 {2\left( {x - 1} \right)\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}{\rm{d}}x} = 4\pi \left. {{{\left( {x - 1} \right)}^2}\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - 4\pi \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\)
Gọi \({V_1} = \int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x - 1 \Rightarrow {\rm{d}}u = {\rm{d}}x\\
{\rm{d}}v = {{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x \Rightarrow v = \frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {V_1} = \left. {4\pi \left( {x - 1} \right)\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - 4\pi \int\limits_0^1 {\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}{\rm{d}}x} = 2\pi - \left. {\pi {{\rm{e}}^{2x}}} \right|_0^1 = 2\pi - \pi {{\rm{e}}^2} + \pi = 3\pi - \pi {{\rm{e}}^2}\)
\(V = \left. {4\pi {{\left( {x - 1} \right)}^2}\frac{{{{\rm{e}}^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - {V_1} = - 2\pi - \left( {3\pi - \pi {{\rm{e}}^2}} \right) = \pi \left( {{{\rm{e}}^2} - 5} \right)\,\,\)
Cách 2: Sử dụng MTCT
Phương trình hoành độ giao điểm \(2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox là:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {2\left( {x - 1} \right){{\rm{e}}^x}} \right]}^2}} {\rm{d}}x = 4\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}{{\rm{e}}^{2x}}} {\rm{d}}x\)
.PNG)
Máy hiện: .png)
Kiểm tra các kết quả ta được đáp án D.
40 câu trắc nghiệm chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân ôn thi THPT QG năm 2019
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 16\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} .\)
-
Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}} = a + b\ln \frac{{1 + {\rm{e}}}}{2}\), với a, b là các số hữu tỉ. Tính \(S = {a^3} + {b^3}\).
-
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = 3 - 5\sin x\) và \(f\left( 0 \right) = 10\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} + 2x\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.\) Tìm \(F(x)\)
-
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
.PNG)
-
Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8 m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
.PNG)
-
Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 m/s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với \(v\left( t \right) = - 5t + 10\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
-
Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x=a, x = b\left( {a < b} \right)\), xung quanh trục Ox.
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} {\rm{d}}x} \) bằng cách đặt \(u = {x^2} - 1\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} {\rm{d}}x\):
-
Cho \(F\left( x \right) = - \frac{1}{{3{x^3}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\).
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên đoạn [1;2], \(f(1)=1\) và \(f(2)=2\). Tính \(I = \int\limits_1^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \)
-
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right){\rm{d}}x} = 10\) và \(2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
-
Biết \(I = \int\limits_3^4 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2} + x}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\), với \(a, b, c\) là các số nguyên. Tính \(S=a+b+c\)
-
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng x = - 1, x = 2 (như hình vẽ bên dưới). Đặt \(a = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), \(b = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), mệnh đề nào sau đây đúng?
.PNG)
-
Biết \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}} = \sqrt a - \sqrt b - c\) với \(a, b, c\) là các số nguyên dương. Tính \(P = a + b + c\).
-
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x = \frac{\pi }{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = \sqrt 3 {x^2}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) (với \(0 \le x \le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
.PNG)
-
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường \(y=e^x, y=0, x=0, x=\ln 4\). Đường thẳng \(x = k\,\,(0 < k < \ln 4)\) chia (H) thành hai phần có diện tích là \(S_1\) và \(S_2\) như hình vẽ bên. Tìm k để \(S_1=2S_2\).
.PNG)
-
Cho \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 12\). Tính \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right){\rm{d}}x} \).
