Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} {\rm{d}}x\):
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiCách 1: \(I = \int\limits_1^{\rm{e}} {x\ln x} dx\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = lnx\\
{\rm{d}}v = x{\rm{d}}x
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\rm{d}}u = \frac{1}{x}{\rm{d}}x\\
v = \frac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^{\rm{e}} - \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{x} \cdot \frac{{{x^2}}}{2}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \frac{1}{2}\int\limits_1^{\rm{e}} {x{\rm{d}}x = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \left. {\frac{{{x^2}}}{4}} \right|_1^{\rm{e}}} = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{{{\rm{e}}^2} + 1}}{4}\)
Cách 2: Máy tính
Quy trình bấm máy:
.png)
Máy hiện: .png)
Kiểm tra các kết quả ta có C thỏa mãn (lần lượt trừ từng đáp án).
Phân tích phương án nhiễu:
Học sinh thường nhầm đáp án D do nhầm dấu khi thay cận:
\( \Rightarrow I = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^{\rm{e}} - \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{x} \cdot \frac{{{x^2}}}{2}{\rm{d}}x} = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \frac{1}{2}\int\limits_1^{\rm{e}} {x{\rm{d}}x = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \left. {\frac{{{x^2}}}{4}} \right|_1^{\rm{e}}} = \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{2} - \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{{{\rm{e}}^2} + 1}}{4}\)
40 câu trắc nghiệm chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân ôn thi THPT QG năm 2019
Câu hỏi liên quan
-
Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng x = - 1, x = 2 (như hình vẽ bên dưới). Đặt \(a = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), \(b = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \), mệnh đề nào sau đây đúng?
.PNG)
-
Cho \(F\left( x \right) = - \frac{1}{{3{x^3}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f\left( x \right)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right)\ln x\).
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên đoạn [1;2], \(f(1)=1\) và \(f(2)=2\). Tính \(I = \int\limits_1^2 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \)
-
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 + \sin x} \), trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=\pi\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2\)
-
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \(\left( {1 \le x \le 3} \right)\) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là 3x và \(\sqrt {3{x^2} - 2} \).
-
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)f'\left( x \right){\rm{d}}x} = 10\) và \(2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2\). Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} {\rm{d}}x} \) bằng cách đặt \(u = {x^2} - 1\), mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
.PNG)
-
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\). Tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]{\rm{d}}x} \).
-
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{\rm{e}}^x} + 2x\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}.\) Tìm \(F(x)\)
-
Biết \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}} = \sqrt a - \sqrt b - c\) với \(a, b, c\) là các số nguyên dương. Tính \(P = a + b + c\).
-
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = \sqrt 3 {x^2}\), cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) (với \(0 \le x \le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
.PNG)
-
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường \(y=e^x, y=0, x=0, x=\ln 4\). Đường thẳng \(x = k\,\,(0 < k < \ln 4)\) chia (H) thành hai phần có diện tích là \(S_1\) và \(S_2\) như hình vẽ bên. Tìm k để \(S_1=2S_2\).
.PNG)
-
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = 3 - 5\sin x\) và \(f\left( 0 \right) = 10\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Biết \(I = \int\limits_3^4 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2} + x}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\), với \(a, b, c\) là các số nguyên. Tính \(S=a+b+c\)
-
Cho \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 12\). Tính \(I = \int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right){\rm{d}}x} \).
-
Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 m/s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với \(v\left( t \right) = - 5t + 10\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
-
Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}} = a + b\ln \frac{{1 + {\rm{e}}}}{2}\), với a, b là các số hữu tỉ. Tính \(S = {a^3} + {b^3}\).
-
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} ,{\rm{ }} \forall x \in R.\) Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \)
