Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng \(1{{\operatorname{m}}^{2}}\) và cạnh \(BC=x\left( \operatorname{m} \right)\) để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật ABCD thành 2 hình chữ nhật ADNM và BCNM, trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM; phần hình chữ nhật BCNM được cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên (phần inox thừa được bỏ đi) Tính gần đúng giá trị x để thùng nước trên có thể tích lớn nhất (coi như các mép nối không đáng kể).
.png)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(AB.BC=1\Rightarrow AB=\frac{1}{BC}=\frac{1}{x}\left( \operatorname{m} \right)\).
Gọi \(r\left( \operatorname{m} \right)\) là bán kính đáy hình trụ inox gò được, ta có chu vi hình tròn đáy bằng \(BC=x\left( \operatorname{m} \right).\) Do đó \(2\pi r=x\Leftrightarrow r=\frac{x}{2\pi }\left( \operatorname{m} \right)\).
Như vậy \(BM=2r=\frac{x}{\pi }\Rightarrow AM=AB-BM=\frac{1}{x}-\frac{x}{\pi }\left( \operatorname{m} \right)\).
Thể tích khối trụ inox gò được là \(V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{\left( \frac{x}{2\pi } \right)}^{2}}.\left( \frac{1}{x}-\frac{x}{\pi } \right)=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}}x\left( \pi -{{x}^{2}} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)=x\left( \pi -{{x}^{2}} \right)\) với x>0.
\({f}'\left( x \right)=\pi -3{{x}^{2}}; {f}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=\sqrt{\frac{\pi }{3}}\);
\({f}'\left( x \right)>0\Leftrightarrow x\in \left( 0;\sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)\) và \({f}'\left( x \right)<0\Leftrightarrow x\in \left( \sqrt{\frac{\pi }{3}};+\infty \right)\)
Bởi vậy \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( \sqrt{\frac{\pi }{3}};+\infty \right)\)
Suy ra \(\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=f\left( \sqrt{\frac{\pi }{3}} \right)=\frac{2\pi \sqrt{3\pi }}{9}\Rightarrow {{V}_{\max }}\Leftrightarrow f{{\left( x \right)}_{\max }}\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{\pi }{3}}\approx 1,02\left( \operatorname{m} \right)\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Gò Vấp lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Đồ thị của hàm số \(y=\frac{x-3}{2x-1}\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4x - 1\,\,\,,\,x \ge 5\\ 2x - 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,x < 5 \end{array} \right.\). Tích phân \(\int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {3{e^x} + 1} \right).{e^x}{\rm{d}}x} \) bằng
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|=\left| z+\bar{z} \right|=1\)?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0\). Hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-{{x}^{2}} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có \(AB=AD=2\sqrt{2}\) và \(AA'=4\sqrt{3}\) (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
.png)
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên:
.PNG)
-
Cho số phức z=2-3i. Môđun của số phức \(\left( 1+i \right)\bar{z}\) bằng
-
Nếu \(\int_{1}^{2}{f}\left( x \right)\text{d}x=-3\) và \(\int_{1}^{3}{f}\left( x \right)\text{d}x=1\) thì \(\int_{2}^{3}{f}\left( x \right)\text{d}x\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x - 3} \right) = 3\) là:
-
Trong một lớp học gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi đó có cả nam và nữ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB=\sqrt{6}, AD=\sqrt{3}\), tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết hai mặt phẳng \(\left( SAB \right), \left( SAC \right)\) tạo với nhau góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\tan \alpha =\frac{3}{4}\) và cạnh SC=3. Thể tích khối S.ABCD bằng:
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm là điểm I(2;-3;1) và đi qua điểm \(M\left( 0;-1;2 \right)\) có phương trình là:
-
Tích phân \(\int_{1}^{2}{x\left( x+2 \right)}~\text{d}x\) bằng
-
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{5x + 3}}{{2x - 1}}\) là
-
Với x>0, đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{2}}x\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+3z+2=0\) và đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?
-
Cho hai số phức \(z=2+3i\) và \(w=5+i\). Số phức \(z+iw\) bằng
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+3y-z-3=0\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( -\infty ;+\infty \right),\) có bảng biến thiên như hình sau:
.PNG)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Hàm số \(y = \frac{{x - 7}}{{x + 4}}\) đồng biến trên khoảng
