Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({e^{3m}} + {e^m} = 2\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 + x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\) có nghiệm.
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐKXĐ: \(1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1.\)
Đặt \(x + \sqrt {1 - {x^2}} = t\) ta có \({t^2} = {x^2} + 1 - {x^2} + 2x\sqrt {1 - {x^2}} = 1 + 2x\sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow x\sqrt {1 - {x^2}} = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\).
Ta có: \(t\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t'\left( x \right) = 1 - \frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
1 - {x^2} = {x^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
.PNG)
Từ BBT ta có: \(t \in \left[ { - 1;\sqrt 2 } \right]\).
Khi đó phương trình trở thành: \({e^m} + {e^{3m}} = 2t\left( {1 + \frac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) = t\left( {{t^2} + 1} \right) = {t^3} + t\,\,\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(R \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\).
Từ \(\left( * \right) \Rightarrow f\left( {{e^m}} \right) = f\left( t \right) \Leftrightarrow {e^m} = t \Leftrightarrow m = \ln t \Rightarrow m \in \left( {0;\ln \sqrt 2 } \right) = \left( {0;\frac{1}{2}\ln 2} \right)\) .
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn \(f(0)=0\). Biết \(\int_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx = \frac{9}{2}} \) và \(\int_0^1 {f'\left( x \right)\cos \frac{{\pi x}}{2}dx = \frac{{3\pi }}{4}} \). Tích phân \(\int_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng.
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trên đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)\) có tập xác định R.
-
Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất là 6,9%/năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó có rút được cả gốc và lãi số tiền gần với con số nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R thỏa mãn \(f\left( {2x} \right) = 3f\left( x \right),\,\forall x \in R\). Biết rằng \(\int_0^1 {f\left( x \right)dx = 1} \). Tính tích phân \(I = \int_1^2 {f\left( x \right)dx} \).
-
Cho \(\int {2x{{\left( {3x - 2} \right)}^6}dx = A{{\left( {3x - 2} \right)}^8} + B{{\left( {3x - 2} \right)}^7} + C} \) với \(A,B,C \in R\). Tính giá trị của biểu thức 12A + 7B.
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên R có đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\) như hình vẽ. Hỏi hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.png)
-
Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 6 + {m^2}} \right) \ge 1\) và \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 1 = 0\).
-
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng \(\overline {abcd} \), trong đó \(1 \le a \le b \le c \le d \le 9\).
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - 3x + \frac{1}{x}.\)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy \(\Delta ABC\) vuông cân ở B, \(AC = a\sqrt 2 ,SA \bot \left( {ABC} \right),SA = a\). Gọi G là trọng tâm của \(\Delta SBC\), mp \(\left( \alpha \right)\) đi qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S. Tính V.
-
Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 4a. Diện tích xung quanh của hình trụ là
-
Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kinh đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O' lấy điểm B. Đặt \(\alpha \) là góc giữa AB và đáy. Tính \(\tan \alpha \) khi thể tích khối tứ diện OO'AB đạt giá trị lớn nhất.
-
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \(A,AB = 1cm,AC = \sqrt 3 cm\). Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng \(\frac{{5\sqrt 5 }}{6}c{m^3}\). Tính khoảng cách từ C tới (SAB).
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 3}}\) trên đoạn [- 2;3] bằng
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên R, có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,\,khi\,\,\,x \ne 1\\
a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 1
\end{array} \right.\,\,\) liên tục tại điểm \(x_0=1\) -
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số \(y=f'(x)\) trên R như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
.png)
-
Gọi n là số nguyên dương sao cho \(\frac{1}{{{{\log }_3}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{3^2}}}x}} + \frac{1}{{{{\log }_{{3^3}}}x}} + ... + \frac{1}{{{{\log }_{{3^n}}}x}} = \frac{{190}}{{{{\log }_3}x}}\) đúng với mọi x dương, \(x \ne 1\). Tìm giá trị của biểu thức \(P = 2n + 3.\)
-
Hàm số \(y = {x^4} - {x^3} - x + 2019\) có bao nhiêu điểm cực trị?
