Tổng số nghiệm của phương trình \(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{2 - {{\log }_2}x}} = 1\) là
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\frac{1}{{4 + {{\log }_2}x}} + \frac{2}{{2 - {{\log }_2}x}} = 1\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x \ne - 4\\{\log _2}x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne {2^{ - 4}}\\x \ne {2^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{1}{{16}}\\x \ne 4\end{array} \right..\)
Đặt \(t = {\log _2}x\). Khi đó phương trình đã cho trở thành: \(\frac{1}{{4 + t}} + \frac{2}{{2 - t}} = 1\,\,\left( {t \ne 2;\,\,t \ne - 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2 - t + 8 + 2t = - {t^2} - 2t + 8 \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\;\;\left( {tm} \right)\\t = - 2\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
+) Với \(t = - 1 \Rightarrow {\log _2}x = - 1 \Leftrightarrow x = {2^{ - 1}} = \frac{1}{2}\;\;\left( {tm} \right)\).
+) Với \(t = - 2 \Rightarrow {\log _2}x = - 2 \Leftrightarrow x = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\;\;\left( {tm} \right)\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho là \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Chọn B.