Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1; - 3),B(0; - 2;3) và mặt cầu (S): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1\) . Xét điểm M thay đổi luôn thuộc mặt cầu (S), giá trị lớn nhất của \(M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng:
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Mặt cầu (S) có tâm I(-1;0; 3) , bán kính R = 1
Gọi J(a; b; c) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {JA} + 2.\overrightarrow {JB} = \overrightarrow 0 \)
Ta có: \(\overrightarrow {JA} = (3 - a,1 - b, - 3 - c);\overrightarrow {JB} = ( - a;2 - b;3 - c)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {JA} + 2.\overrightarrow {JB} = (3 - 3a; - 3 - 3b;3 - 3c) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = - 1 \Rightarrow J(1; - 1;1)\\
c = 1
\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}
T = M{A^2} + 2M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JB} } \right)^2}\\
T = M{J^2} + 2.\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JA} + J{A^2} + 2M{J^2} + 4\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JB} + 2J{B^2}\\
T = 3M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} \underbrace {(\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JB} )}_{\overrightarrow 0 } + \underbrace {J{A^2} + 2J{B^2}}_{{\rm{const}}}
\end{array}\)
Do đó: \({T_{max}} \Leftrightarrow M{J_{max}}\)
Ta có: \(\overrightarrow {IJ} = (2; - 1; - 2) \Rightarrow IJ = \sqrt {{2^2} + 1{}^2 + {2^2}} = 3 > R = 1 \Rightarrow J\) nằm ở phía ngoài mặt cầu (S). Khi đó \(M{J_{max}} = IJ + R = 3 + 1 = 4\)
Vậy \({T_{max}} = {3.4^2} + ({2^2} + {2^2} + {4^2}) + 2.({1^2} + {1^2} + {2^2}) = 3.16 + 24 + 2.6 = 84\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên KHTN - Hà Nội
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng:
-
Cho hàm số có bảng biến thiên
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
-
Cho khối nón có chiều cao bằng 2a và bán kính đáy bằng a. Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
Cho a, b là các số thực thỏa mãn a + 6i = 2 - 2bi, với i là đơn vị ảo. Giá trị của a + b bằng
-
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \(B,AB = a,AC = 2a,SA \bot (ABC)\) và SA = a . Thể tích khối nón đã cho bằng
-
Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ dưới đây được xác định theo công thức
.png)
-
Trong không gian Oxyz, tập hợp các điểm thỏa mãn \(\left| z \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) và \(\left| {x - 2} \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) là một khối đa diện có thể tích bằng:
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(AB = a,\angle BAD = {60^ \circ },SO \bot (ABCD)\) và mặt phẳng (SCD) tạo với mặt đáy một góc bằng 600 . Thể tích khối chóp đã cho bằng:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - (m + 1){x^2} + ({m^2} - 2)x - {m^2} + 3\) có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị đó nằm về hai phía khác nhau đối với trục hoành?
-
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?
.png)
-
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(\left| {(1 + i)z - 5 + i} \right| = 2\) là một đường tròn tâm I và bán kính R lần lượt là:
-
Xét số phức z thỏa mãn \(\frac{{z + 2}}{{z - 2i}}\) là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A( - 1;2;1),B(2; - 1;4),C(1;1;4)\) . Đường thẳng nào dưới đây vuông góc với mặt phẳng (ABC)?
-
Với các số a, b > 0 thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 6ab\) , biểu thức \({\log _2}(a + b)\) bằng:
-
Cho số phức z thỏa mãn \((2 + 3i)z + 4 - 3i = 13 + 4i\). Mô đun của z bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -1;2) và (3; 3; 0). Mặt phẳng trung trực của đường thẳng AB có phương trình là
-
Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là:
-
Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng qua A(1;0;2) cắt và vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 2}}\). Điểm nào dưới đây thuộc d?
-
Biết rằng tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c sao cho \(\int\limits_2^3 {(4x + 2)\ln xdx = a + b\ln 2 + c\ln 3} \) . Giá trị của a + b + c bằng:
-
Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị (P). Xét các điểm A, B thuộc (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng 9/4 . Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\) bằng:
