Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 2;1;3 \right)\) và \(B\left( 6;5;5 \right).\) Xét khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh A, đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi \(\left( N \right)\) có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) có phương trình dạng 2x+by+cz+d=0. Giá trị của b+c+d bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiKhông mất tính tổng quát ta giả sử đường cao của hình trụ trùng với AB.
Gọi I là tâm mặt cầu đường kính AB.
Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón \(\left( N \right).\)
Đặt R,r lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn đáy của hình nón.
Ta có \(AB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{36}=6\Rightarrow R=\frac{1}{2}AB=3.\)
Gọi h là chiều cao hình trụ \(\left( h>3 \right)\Rightarrow IH=h-3\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( h-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{-{{h}^{2}}+6h}.\)
⇒ Thể tích khối nón \(\left( N \right)\) là: \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .\left( -{{h}^{2}}+6h \right).h=\frac{1}{3}\pi {{h}^{2}}\left( 6-h \right).\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \({{h}^{2}}\left( 6-h \right)=\frac{1}{2}h.h.\left( 12-2h \right)\le \frac{1}{2}.{{\left( \frac{h+h+12-2h}{3} \right)}^{3}}=32.\)
\(\Rightarrow {{V}_{\left( N \right)}}\le \frac{1}{3}\pi .32=\frac{32\pi }{3}.\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow h=12-2h=h=4\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\)
\( \Rightarrow \left( {{x_H} - 2;{y_H} - 1;{z_H} - 3} \right) = \frac{2}{3}\left( {4;4;2} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_H} - 2 = \frac{8}{3}\\ {y_H} - 1 = \frac{8}{3}\\ {z_H} - 3 = \frac{4}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_H} = \frac{{14}}{3}\\ {y_H} = \frac{{11}}{3}\\ {z_H} = \frac{{13}}{3} \end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{14}}{3};\frac{{11}}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\)
⇒ Mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón đi qua \(H\left( \frac{14}{3};\frac{11}{3};\frac{13}{3} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow{n} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left( 2;2;1 \right)\)
Vậy phương trình mặt phẳng chứa đường tròn đáy của hình nón:
\(2\left( x-\frac{14}{3} \right)+2\left( y-\frac{11}{3} \right)+1\left( z-\frac{13}{3} \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y+z-21=0.\)
Câu hỏi liên quan
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({{\log }_{3}}\left( 9a \right)\) bằng
-
Có bao nhiêu số nguyên \(a\left( a\ge 2 \right)\) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn \({{\left( {{a}^{\log x}}+2 \right)}^{\log a}}=x-2?\)
-
Công thức tính thể tích V của khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h là:
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SA và mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng \({{45}^{0}}\) (tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
.png)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right),\) đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2x \right)-4x\) trên đoạn \(\left[ -\frac{3}{2};2 \right]\) bằng
.PNG)
-
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-1.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Hàm số \(f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=0.\) Hàm số \(f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{3}} \right)-3x \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm \(M\left( 1;-2;1 \right)?\)
-
Một khối chóp có diện tích đáy bằng 6 và chiều cao bằng 5. Thể tích của khối chóp bằng
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm là gốc tọa độ O và đi qua điểm \(M\left( 0;0;2 \right)\) có phương trình là:
-
Nếu \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx=5}\) và \(\int\limits_{2}^{3}{f\left( x \right)dx=-2}\) thì \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}\) bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 2 và độ dài cạnh bên bằng 3 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ S đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
.png)
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.PNG)
-
Xét hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=1,\left| {{z}_{2}} \right|=2\) và \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}.\) Giá trị lớn nhất của \(\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|\) bằng
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{2}^{x}}\) là:
-
Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn \(\left( {{2}^{x+1}}-\sqrt{2} \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0?\)
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 1;2;-1 \right)\) và điểm \(B\left( 2;-1;1 \right)\) có phương trình tham số là:
