Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với \(A\left( m;0;0 \right), B\left( 0;m-1;0 \right); C\left( 0;0;m+4 \right)\) thỏa mãn BC=AD, CA=BD và AB=CD. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện ABCD bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Đặt BC=a; CA=b; AB=c.
Gọi M, N lần lượt là trrung điểm của AB và CD.
Theo giả thiết ta có tam giác \(\Delta ABC=\Delta CDA\left( c.c.c \right)\Rightarrow CM=DM\) hay tam giác CMD cân tại M \(\Rightarrow MN\bot CD\)
Chứng minh tương tự ta cũng có \(MN\bot AB\)
Gọi I là trung điểm của MN thì IA=IB và IC=ID.
Mặt khác ta lại có AB=CD nên \(\Delta BMI=\Delta CNI\Rightarrow IB=IC\) hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Ta có \(I{{A}^{2}}=I{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=\frac{M{{N}^{2}}}{4}+\frac{A{{B}^{2}}}{4}=\frac{M{{N}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}\)
Mặt khác CM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên \(C{{M}^{2}}=\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{4}\)
\(\Rightarrow M{{N}^{2}}=C{{I}^{2}}-C{{N}^{2}}=\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{4}-\frac{{{c}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2}\).
Vậy \(I{{A}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}\).
Với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{m}^{2}}+2{{\left( m-1 \right)}^{2}}+2{{\left( m+4 \right)}^{2}}=6{{\left( m+1 \right)}^{2}}+28\)
Vậy \(I{{A}^{2}}=\frac{6{{\left( m+1 \right)}^{2}}+28}{8}\ge \frac{7}{2}\Rightarrow I{{A}_{\min }}=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Tất Thành lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=9\). Tìm tọa độ tâm của mặt cầu \(\left( S \right).\)
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) với bảng xét dấu đạo hàm như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) là.
-
Trong không gian Oxyz, điểm \(M\left( 3;4;-2 \right)\) thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau?
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = - 1 - 4t\\ z = 5t \end{array} \right.\) đi qua điểm nào sau đây?
-
Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình \(\ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\) nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\). Tính S.
-
Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ a\,;\,b \right]\) và \(f\left( a \right)=-2, f\left( b \right)=-4\). Tính \(T=\int\limits_{a}^{b}{{f}'\left( x \right)\,\text{d}x}\).
-
Cho số phức \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z}^{2}}+4 \right|=2\left| z \right|.\) Đặt \(P=8\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)-12.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(5\left| z-i \right|=\left| z+1-3i \right|+3\left| z-1+i \right|\). Tìm giá trị lớn nhất M của \(\left| z-2+3i \right|\) ?
-
Rút gọn biểu thức \(P={{a}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{a}\) với a>0.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ
.jpg.png)
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới. Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng
.jpg.png)
-
Nghiệm của phương trình \({{8}^{2x-2}}-{{16}^{x-3}}=0\).
-
Số phức \(z=2-3i\) có điểm biểu diễn là
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, \(BC=a\sqrt{2}\), đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng \({{30}^{0}}\). Gọi h là khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng \(\left( ABC \right)\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con?
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau:
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) cho bởi hình vẽ bên. Đặt \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{{{x}^{2}}}{2}, \forall x\in \mathbb{R}\). Hỏi đồ thị hàm số \(y=g\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\). Hàm số \(y={f}'(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
.jpg.png)
-
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
