Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với \(A\left( m;0;0 \right), B\left( 0;m-1;0 \right); C\left( 0;0;m+4 \right)\) thỏa mãn BC=AD, CA=BD và AB=CD. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện ABCD bằng
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Đặt BC=a; CA=b; AB=c.
Gọi M, N lần lượt là trrung điểm của AB và CD.
Theo giả thiết ta có tam giác \(\Delta ABC=\Delta CDA\left( c.c.c \right)\Rightarrow CM=DM\) hay tam giác CMD cân tại M \(\Rightarrow MN\bot CD\)
Chứng minh tương tự ta cũng có \(MN\bot AB\)
Gọi I là trung điểm của MN thì IA=IB và IC=ID.
Mặt khác ta lại có AB=CD nên \(\Delta BMI=\Delta CNI\Rightarrow IB=IC\) hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Ta có \(I{{A}^{2}}=I{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=\frac{M{{N}^{2}}}{4}+\frac{A{{B}^{2}}}{4}=\frac{M{{N}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}\)
Mặt khác CM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên \(C{{M}^{2}}=\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{4}\)
\(\Rightarrow M{{N}^{2}}=C{{I}^{2}}-C{{N}^{2}}=\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{4}-\frac{{{c}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{2}\).
Vậy \(I{{A}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}\).
Với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{m}^{2}}+2{{\left( m-1 \right)}^{2}}+2{{\left( m+4 \right)}^{2}}=6{{\left( m+1 \right)}^{2}}+28\)
Vậy \(I{{A}^{2}}=\frac{6{{\left( m+1 \right)}^{2}}+28}{8}\ge \frac{7}{2}\Rightarrow I{{A}_{\min }}=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Tất Thành lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối nón có chiều cao bằng \(2a\) và bán kính bằng \(a\). Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\) và trục hoành là
-
Cho hàm số \(f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\). Hàm số \(y={f}'(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
.jpg.png)
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1-2i, {{z}_{2}}=-2+i\). Tìm số phức \(z={{z}_{1}}{{z}_{2}}\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ
.jpg.png)
Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}>8.\)
-
Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{k}.\) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là:
-
Cho số phức \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {{z}^{2}}+4 \right|=2\left| z \right|.\) Đặt \(P=8\left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} \right)-12.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) cho bởi hình vẽ bên. Đặt \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{{{x}^{2}}}{2}, \forall x\in \mathbb{R}\). Hỏi đồ thị hàm số \(y=g\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị
.jpg.png)
-
Rút gọn biểu thức \(P={{a}^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{a}\) với a>0.
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+2{{x}^{2}}+3x-4\) trên đoạn \(\left[ -4;\,0 \right]\) lần lượt là M và n. Giá trị của tổng M+n bằng
-
Khối lập phương có thể tích bằng 8. Tính độ dài cạnh của hình lập phương đó
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(y={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?
.jpg.png)
-
Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình \(\ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\) nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\). Tính S.
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) với bảng xét dấu đạo hàm như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) là.
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \(\left( \left| m \right|<10 \right)\) để phương trình \({{2}^{x-1}}={{\log }_{4}}\left( x+2m \right)+m\) có nghiệm ?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(5\left| z-i \right|=\left| z+1-3i \right|+3\left| z-1+i \right|\). Tìm giá trị lớn nhất M của \(\left| z-2+3i \right|\) ?
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-3}{x-1}\) có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
-
Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{\left( 4x-3 \right)dx}\) .
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y = - 1 - 4t\\ z = 5t \end{array} \right.\) đi qua điểm nào sau đây?
