Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {3;1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( P \right)\) sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 9a + 3b + 6c\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \)
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - y;2 - z} \right);\overrightarrow {IB} = \left( {3 - x;1 - y; - 1 - z} \right)\)
Khi đó \(3\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - 3x = 6 - 2x\\
- 3y = 2 - 2y\\
6 - 3z = - 2 - 2z
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 3\\
y = - 2\\
z = 8
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 3; - 2;8} \right)\)
Ta có:
\(3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {MI} + \left( {3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {MI} \) (vì \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \))
Khi đó \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\) nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
Phương trình đường thẳng d qua I(- 3;- 2;8) và vuông góc với (P) là \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = - 3 + t\\
y = - 2 + t\\
z = 8 + t
\end{array} \right.\)
Suy ra \(M = d \cap \left( P \right)\) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = - 3 + t\\
y = - 2 + t\\
z = 8 + t\\
x + y + z - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 3 + t\\
y = - 2 + t\\
z = 8 + t\\
- 3 + t - 2 + t + 8 + t = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = - \frac{2}{3}\\
x = - \frac{{11}}{3}\\
y = - \frac{8}{3}\\
z = \frac{{22}}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{{11}}{3}; - \frac{8}{3};\frac{{22}}{3}} \right)\)
Từ đó \(a = - \frac{{11}}{3};b = - \frac{8}{3};c = \frac{{22}}{3} \Rightarrow S = 9a + 3b + 6c = - 33 - 8 + 44 = 3\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)\) trên tập số thực R và đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) như hình vẽ. Khi đó, đồ thị của hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) có
.png)
-
Cho \(z_1, z_2\) là hai số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 5 - 3i} \right| = 5\) đồng thời \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 8\). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w=z_1+z_2\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm A(2;- 2;5) và tiếp xúc với ba mặt phẳng \(\left( P \right):x = 1,\left( Q \right):y = - 1\) và \(\left( R \right):z = 1\) có bán kính bằng
-
Khi quay một tam giác vuông (kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó) quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông ta được
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
.png)
-
Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn \(\left| z \right| - 2\overline z = - 7 + 3i + z\). Mô đun của số phức \({\rm{w}} = 1 - z + {z^2}\) bằng
-
Xét các số thực dương x;y thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = x + y\).
-
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - z + 2 = 0\). Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của (P)?
-
Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi \,d{m^3}\). Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình.
-
Cho một khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10cm. Biết thể tích khối trụ bằng \(90\pi \left( {c{m^3}} \right)\). Diện tích xung quanh của khối trụ bằng
-
Với a và b là hai số thực dương tùy ý, \(\log \left( {{a^2}{b^3}} \right)\) bằng
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác với \(AB = a,AC = 2a\) và \(BAC = {120^0},AA' = 2a\sqrt 5 \). Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 3m\left| x \right| - 5\) có ba điểm cực trị?
-
Cho một miếng tôn hình tròn tâm O, bán kính R. Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt OAB và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O không có đáy (OA trùng với OB). Gọi S và S ' lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. Tìm tỉ số \(\frac{{S'}}{S}\) để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.
-
Trong mặt phẳng Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1} = - 3i;{z_2} = 2 - 2i;{z_3} = - 5 - i\). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó điểm G biểu diễn số phức là
-
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}\). Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^{2x}}\) là
-
Số các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\) để hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} - 2mx + 6m}}{{x - 1}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\)?
-
Cho hai hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\left( {a,b,c \in R} \right)\) có đồ thị (C) và \(y = m{x^2} + nx + p\left( {m,n,p \in R} \right)\) có đồ thị (P) như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?
.png)
