Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 2\ ;\ 1\ ;\ 3 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+my+\left( 2m+1 \right)z-m-2=0\), với \(m\) là tham số. Gọi \(H\left( a;b;c \right)\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên \(\left( P \right)\). Khi khoảng cách từ điểm \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất; tính \(a+b\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn C
Ta có \(d\left( A,\left( P \right) \right)\)\( =\frac{\left| 2+m+6m+3-m-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{m}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}}}\)\( =\sqrt{\frac{{{\left( 6m+3 \right)}^{2}}}{5{{m}^{2}}+4m+2}}\)
Xét \(f\left( m \right)\)\( =\frac{{{\left( 6m+3 \right)}^{2}}}{5{{m}^{2}}+4m+2}\)\( \Rightarrow {f}'\left( m \right)\)\( =\frac{\left( 6m+3 \right)\left( -6m+12 \right)}{{{\left( 5{{m}^{2}}+4m+2 \right)}^{2}}}=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=\frac{-1}{2} \\ & m=2 \\ \end{align} \right.\)
.PNG)
Vậy \(\max \ d\left( A,\left( P \right) \right)=\frac{\sqrt{30}}{2}\) khi và chỉ khi \(m=2\).
Vậy \(\left( P \right):x+2y+5z-4=0\).
Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc \(\left( P \right)\) nên \(d:\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1+2t \\ & z=3+5t \\ \end{align} \right.\)
Khi đó \(H=d\cap \left( P \right)\)
Ta có \(2+t+2+4t+15+25t-4=0\Leftrightarrow 30t=-15\Leftrightarrow t=\frac{-1}{2}\)
\(H\left( \frac{3}{2};0;\frac{1}{2} \right)\). Do đó \(a+b=\frac{3}{2}\)
Cách 2: Khi đó \(M\left( x;y;z \right)\)cố định của \(\left( P \right)\) thỏa \(m\left( y+2z-1 \right)+x+z-2=0\quad \forall m\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y + 2z - 1 = 0\\ x + z - 2 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t\\ y = 1 - 2t\\ z = t \end{array} \right.\quad \left( \Delta \right) \end{array}\)
\(\left( P \right)\) luôn qua \(\left( \Delta \right)\) cố định
.PNG)
\(AH\le AK\)\( \Rightarrow d{{\left( A;\left( P \right) \right)}_{\max }}\)\( \Rightarrow H\equiv K\)
\(K\left( 2-t;1-2t;t \right)\) vì qua \(\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\)\( \Rightarrow t=\frac{1}{2}\)\( \Rightarrow K\left( \frac{3}{2};0;\frac{1}{2} \right)\)
Suy ra \(H\equiv K\) nên \(H\left( \frac{3}{2};0;\frac{1}{2} \right)\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=\frac{ax+32-a}{{{2}^{x}}},(a\in \mathbb{R})\) trên đoạn \(\left[ -2;1 \right]\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên đương \(a\) để \(m\ge 16?\)
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình \(f\left( 1-x \right)=1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( 0;\,+\infty \right)\)?
.PNG)
-
Gọi \(\left( D \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=0,y=x\) và \(y=\sqrt{x+2}\). Diện tích \(S\) của \(\left( D \right)\) được tính theo công thức nào dưới đây?
-
Xét các số thực \(a\) thay đổi thỏa mãn \(\left| a \right|\le 2\) và \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}-az+1=0\). Gọi \(A\left( \frac{7}{2};2 \right)\) và \(M\), \(N\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\). Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác \(AMN\) bằng
-
Diện tích của mặt cầu có bán kính bằng \(5\) là
-
Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình bên. Hỏi hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)-{{x}^{2}}-2x\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
.PNG)
-
Phương trình \(\sqrt{2021+{{\log }_{8}}x}-\sqrt{4{{\log }_{8}}x}={{\log }_{2}}x-2021\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
-
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{2-x}}\)
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({{a}^{4}}{{b}^{3}}=1.\) Giá trị của \({{\log }_{a}}\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}}\) bằng
-
Cho mặt cầu có bán kính bằng \(3\). Một khối nón có chiều cao thay đổi sao cho đỉnh và đường tròn đáy cùng thuộc mặt cầu đã cho. Khi thể tích khối nón lớn nhất thì chiều cao của nó bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)={{x}^{2}}+x-2\). Hỏi hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-3 \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y=\,f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình dưới. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\,AB=1\) và \(AC=2\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
-
Cho hai hàm số \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+d\) và \(g\left( x \right)=kx+d\) (với \(a,b,c,d,k\in \mathbb{R}\)). Đặt \(h\left( x \right)=f'\left( x \right)+g'\left( x \right)\). Biết rằng đồ thị hàm số \(y=h\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới và \(h\left( 2 \right)=-2\).
.PNG)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) gần nhất với giá trị nào sau đây?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-5}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+25}{-2}\) và điểm \(M\left( 2;3;-1 \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right):2x+by+cz+d=0\) chứa đường thẳng \(\Delta \). Khi khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất, giá trị của \(b+c+d\) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(\sqrt{2}\), cạnh bên \(SA=2\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \(a\), \(A\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ -5;1 \right]\). Giá trị của \(a-2A\) bằng
.png)
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài cạnh bằng \(\sqrt{6}\). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(BD\) và \(CC'\) bằng
-
Tập nghiệm của phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-3x}}=1\) là
