Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z=0\) và điểm \(M\left( 0;1;0 \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và cắt \(\left( S \right)\) theo đường tròn \(\left( C \right)\) có chu vi nhỏ nhất. Gọi \(N({{x}_{0}};\,{{y}_{0}};\,{{z}_{0}})\) là điểm thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho \(ON=\sqrt{6}\). Tính \({{y}_{0}}\).
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;2;1 \right)\), bán kính \(R=\sqrt{6}\).
Bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) : \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{6-{{d}^{2}}}\) với \(d=d\left( I,\left( P \right) \right)\)
Chu vi \(\left( C \right)\) nhỏ nhất khi và chỉ khi r nhỏ nhất \(\Leftrightarrow d\) lớn nhất
Ta có \(d\le IM\Rightarrow {{d}_{\max }}=IM\Leftrightarrow \left( P \right)\) đi qua M và vuông góc IM
\(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( 0;1;0 \right)\), và nhận \(\overrightarrow{IM}=\left( 1;-1;-1 \right)\) làm VTPT
\(\Rightarrow \left( P \right):x-\left( y-1 \right)-z=0\Leftrightarrow x-y-z+1=0\)
Ta có tọa độ N thỏa hệ
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z = 0\\ x - y - z + 1 = 0\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x - 4y - 2z = - 6\\ x - y - z + 1 = 0\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 2\\ x = y + z - 1\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 6 \end{array} \right. \Rightarrow y = 2\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trần Phú lần 2