Với \(n\) là số tự nhiên lớn hơn 2, đặt \({S_n} = \frac{1}{{C_3^3}} + \frac{1}{{C_4^3}} + \frac{1}{{C_5^4}} + ... + \frac{1}{{C_n^3}}\). Tính \(S_n\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(C_n^3 = \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} \Rightarrow \frac{1}{{C_n^3}} = \frac{6}{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}\)
Khi đó:
\({S_n} = \frac{6}{{1.2.3}} + \frac{6}{{2.3.4}} + ... + \frac{6}{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}} = 6\left( {\frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}}} \right)\)
Xét dãy \((u_n)\): \({u_k} = \frac{1}{{\left( {k - 2} \right)\left( {k - 1} \right)k}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{{k - 1}}\left( {\frac{1}{{k - 2}} - \frac{1}{k}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{k - 1}}.\frac{1}{{k - 2}} - \frac{1}{{k - 1}}.\frac{1}{k}} \right)\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{1.2.3}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{6}} \right)\\
\frac{1}{{2.3.4}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2.4}} - \frac{1}{{3.4}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{{12}}} \right)\\
...\\
\frac{1}{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{n - 1}}.\frac{1}{{n - 2}} - \frac{1}{{n - 1}}.\frac{1}{n}} \right)
\end{array}\)
\( \Rightarrow {S_n} = 6.\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}}} \right) = 3\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}}} \right)\)
Vậy \(\lim {S_n} = \lim \left[ {3\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}}} \right)} \right] = \frac{3}{2}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Với \(a\) là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Số cạnh của hình mười hai mặt đều là
-
Tìm tất cả các giá trị tham số \(m\) để bất phương trình \(6x + \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 - x} \right)} \le {x^2} + m - 1\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 2;8} \right].\)
-
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^{\rm{2}}} + 1\) nghịch biến trên các khoảng nào sau đây?
-
Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
.PNG)
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(2{\log _2}\left( {x - 1} \right) \le {\log _2}\left( {5 - x} \right) + 1\) là
-
Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng \(a\).
-
Cho khối nón có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \) và chiều cao \(h=4\). Tính thể tích V của khối nón đã cho.
-
Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(r\) và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó.
-
Kí hiệu \(\max \left\{ {a;b} \right\}\) là số lớn nhất trong hai số \(a, b\) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\max \left\{ {{{\log }_2}x;{\rm{ }}{{\log }_{\frac{1}{3}}}x} \right\} < 1.\)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \(f'(x)\) như hình vẽ
.png)
Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Một người mỗi tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết sau 15 tháng, người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau.
-
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(y = 2x + 1\) cắt đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) trong đó \({x_B} < {x_A}\). Tìm \({x_B} + {y_B}\)?
-
Gọi M, N là hai điểm di động trên đồ thị (C) của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - x + 4\) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và N luôn song song với nhau. Hỏi khi M, N thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua nào trong các điểm dưới đây ?
-
Cho biểu thức \(P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}}\), với \(x > 0.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Tập nghiệm S của bất phương trình \({5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ - x}}\) là
-
Cho \(a, b\) là các số thực dương thỏa mãn \(b>1\) và \(\sqrt a \le b < a\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _{\frac{a}{b}}}a + 2{\log _{\sqrt b }}\left( {\frac{a}{b}} \right).\)
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Một hình trụ có độ dài đường cao bằng 3, các đường tròn đáy lần lượt là (O;1) và (O';1). Giả sử AB là đường kính cố định của (O;1) và MN là đường kính thay đổi trên (O';1). Tìm giá trị lớn nhất \(V_{max}\) của thể tích khối tứ diện ABCD
-
Biết rằng tập các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 3} \right){9^x} + 2\left( {m + 1} \right){3^x} - m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là một khoảng \(\left( {a;\,b} \right)\). Tính tích \(a.b\).
