Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - xy}}{{x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = x + y.\)
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(xy < 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _3}\frac{{1 - xy}}{{x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4 \Leftrightarrow 1 + {\log _3}(1 - xy) + (3 - 3xy) = {\log _3}(x + 2y) + x + 2y\\ \Leftrightarrow {\log _3}(3 - 3xy) + 3 - 3xy = {\log _3}(x + 2y) + x + 2y,(1)\end{array}\)
Xét hàm số: \(f(t) = {\log _3}t + t\) trên \((0; + \infty )\) thì \(f(t)\) luông đồng biến
Phương trình (1) có dạng: \(f(3 - 3xy) = f(x + 2y) \Leftrightarrow 3 - 3xy = x + 2y \Leftrightarrow x = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}}\)
\( \Rightarrow P = x + y = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}} + y\)
Khảo sát hàm số \(g(y) = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}} + y\) trên \((0; + \infty )\)
Có: \(g'(y) = \frac{{9{y^2} - 6y - 10}}{{{{(3y + 1)}^2}}},g'(y) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{3}\) (vì y>0).
Bảng biến thiên của \(g(y)\) :
.PNG)
Từ bảng biến thiên ta thấy: \({P_{\min }} = g\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{3}} \right) = \frac{{ - 3 + 2\sqrt {11} }}{3}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a.
-
Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1\) có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB?
-
Cho hai số phức \({z_1} = 5 - 7i\) và \({z_2} = 2 + 3i\). Tìm số phức \(z = {z_1} + {z_2}.\)
-
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x) = 3 - 5\sin x\) và \(f(0) = 10\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M(3; - 1;1)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\)?
-
Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
-
Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + c}}\) với \(a,b,c,d\) là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
.jpg)
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng \(a\sqrt 2 \). Tính thể tích của khối
nón có đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. -
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý và \(a\) khác 1, đặt \(P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Hàm số \(y = \frac{2}{{{x^2} + 1}}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V.
-
Cho \(a\) là số thực dương khác 1. Tính \(I = {\log _{\sqrt a }}a.\)
-
Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/ năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
-
Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r=4 và chiều cao \(h = 4\sqrt 2 .\)
-
Cho hàm số \(y = {x^3} + 3x + 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho số phức \(z = 1 - 2i\) . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức\({\rm{w}} = iz\) trên mặt phẳng tọa độ?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = mx - m + 1\) cắt đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + x + 2\) tại ba điểm \(A,B,C\) phân biệt sao cho \(AB = BC.\)
-
Số phức nào dưới đây là số thuần ảo?
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos 3x.\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ \({\rm{Ox}}yz,\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 + t\\z = 2\end{array} \right.\) và \({d_2}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) mặt phẳng \((P):2x + 2y - 3z = 0\). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của \({d_1}\) và \((P)\) , đồng thời vuông góc với \({d_2}\)?
