Xét các số thực \(x,y\)thỏa mãn \({{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}\). GTLN của biểu thức \(P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\) gần nhất với số nào?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiNhận xét \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2>0\forall x;y\)
Bất phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}\)\(\Leftrightarrow \frac{{{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}}{{{2}^{2x}}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)\)\(\Leftrightarrow {{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right)\).
Đặt \(t={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\)
Bất phương trình\(\Leftrightarrow {{2}^{t}}\le t+1\)\(\Leftrightarrow {{2}^{t}}-t-1\le 0\)
Đặt \(f\left( t \right)={{2}^{t}}-t-1\). Ta thấy \(f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=0\).
Ta có \({f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2-1\)
\({f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{t}}\ln 2=1\Leftrightarrow t={{\log }_{2}}\left( \frac{1}{\ln 2} \right)\approx 0,52\)
.PNG)
Quan sát BBT ta thấy \(f\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 1\)
\(\Rightarrow 0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+1\le 1\)\(\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1\) \(\left( 1 \right)\)
Khi đó tập hợp các điểm \(M\left( x;y \right)\) là một hình tròn \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( 1;0 \right)\), bán kính \(R=1\).
Xét \(P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\Leftrightarrow \left( 2P-8 \right)x-Py+P-4=0\)
Khi đó ta cũng có tập hợp các điểm \(M\left( x;y \right)\) là một đường thẳng \(\Delta :\left( 2P-8 \right)x-Py+P-4=0\).
Để \(\Delta \) và \(\left( S \right)\) có điểm chung, ta suy ra \(d\left( I,\Delta \right)\le 1\).
\(\Leftrightarrow \frac{\left| 2P-8+P-4 \right|}{\sqrt{{{\left( 2P-8 \right)}^{2}}+{{P}^{2}}}}\le 1\Leftrightarrow \left| 3P-12 \right|\le \sqrt{5{{P}^{2}}-32P+64}\)
\(\Leftrightarrow 4{{P}^{2}}-40P+80\le 0\)\(\Leftrightarrow 5-\sqrt{5}\le P\le 5+\sqrt{5}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\)là \(5+\sqrt{5}\approx 7,23\) khi \(\left\{ \begin{align} & x=\frac{1}{3} \\ & y=\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \end{align} \right.\)
Chọn C
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Lương Văn Can
Câu hỏi liên quan
-
Cho HS \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({{x}^{2}}f\left( {{x}^{5}} \right)+xf\left( 1-{{x}^{4}} \right)=-3{{x}^{4}}+x+3,\,\forall x\in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng?
-
Nguyên hàm của hàm số sau \(f\left( x \right)=4x+\sin x\) là?
-
Cho hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS \(y=\sin x\), trục \(Ox\) và các đường thẳng \(x=0,x=\pi \) quay xung quanh \(Ox.\) Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho 2 điểm \(A\left( 1;-2;5 \right)\) và \(B\left( -2;-2;1 \right).\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có đồ thị như hình. Số giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right)=m\) có 2 nghiệm phân biệt là?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Oxy \right)?\)
-
Tập nghiệm của bất phương trình sau \({{\log }_{0,5}}x+2\ge 0\) là?
-
GTNN của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-6x\) trên đoạn \(\left[ -1;4 \right]\) là?
-
Cho hình trụ có bán kính đáy \(r=3\) và độ dài đường sinh \(l=5.\) Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ đã cho bằng?
-
Một cấp số cộng có 2 số hạng liên tiếp là \(-6\) và \(4.\) Số hạng tiếp theo của cấp số cộng là?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu sau \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-5=0.\) Tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) có tọa độ là?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( x-1 \right).\log \left( {{e}^{-x}}+m+2023 \right)=x-2\) có 2 nghiệm thực phân biệt?
-
Cho hàm số bậc 4 sau \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\ \left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)\) và hàm số bậc 3 sau \(g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}+px+q\ \left( m,n,p,q\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=g'\left( x \right)\) như hình:
.PNG)
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) bằng 96 và \(f\left( 2 \right)=g\left( 2 \right)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)\) và \(x=0,\ x=2\) bằng?
-
Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng \(AB=5km.\) Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng \(BC=7km\) (tham khảo hình). Người canh hải đăng có thể chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc \(4\,km/h\) và đi bộ đến kho C với vận tốc \(6\,km/h.\) Hỏi muộn nhất mấy giờ người đó phải xuất phát từ vị trí A để có mặt ở kho C lúc 7 giờ sáng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( -10;6;-2 \right),B\left( -5;10;-9 \right)\) và mp \(\left( \alpha \right):2x-2y-z+12=0\). Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) thuộc \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(MA,MB\) tạo với \(\left( \alpha \right)\) các góc bằng nhau và biểu thức \(T=2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a+b+c\) bằng?
-
Cho khối nón có bán kính đáy \(r=3\) và góc ở đỉnh bằng \(60{}^\circ \). Tính thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho bằng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có BBT như sau:
.PNG)
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y=f\left( x \right)+1\) bằng?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{2}^{1-3x}}=\frac{1}{32}\) là?
-
Một họa sĩ cần trưng bày \(10\) bức tranh nghệ thuật khác nhau thành 1 hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) biết hàm số \(y={{f}'}'(x)\) là hàm đa thức bậc 4 có đồ thị như hình:
.PNG)
Đặt \(g(x)=2f\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}} \right)+f\left( -{{x}^{2}}+6 \right)\), biết rằng \(g(0)>0\) và \(g\left( 2 \right)<0.\) Số điểm cực tiểu của hàm số \(y=\left| g\left( x \right) \right|\) là?
