Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\) (với \(a,b,c,d,e \in R\) và \(a \ne 0;{\rm{ }}b \ne 0\)) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Khi đó đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} - f''\left( x \right).f\left( x \right) = 0\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và trục hoành là \({x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3},{\rm{ }}{x_4}.\) Suy ra \(f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right).\)
Đạo hàm \(f'\left( x \right) = a\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right)\)
\( + \,a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_4}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right).\)
Ta có \(g\left( {{x_i}} \right) = {\left[ {f'\left( {{x_i}} \right)} \right]^2} - f''\left( {{x_i}} \right).f\left( {{x_i}} \right) = {\left[ {f'\left( {{x_i}} \right)} \right]^2} > 0,{\rm{ }}\forall {x_i}\)
\(g\left( x \right) = 0\) không có nghiệm \(x_i\)
Xét \(x \ne {x_i},\) ta có \(f'\left( x \right) = f\left( x \right)\left( {\frac{1}{{x - {x_1}}} + \frac{1}{{x - {x_2}}} + \frac{1}{{x - {x_3}}} + \frac{1}{{x - {x_4}}}} \right) = f\left( x \right).\sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{x - {x_i}}}} \)
\( \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{x - {x_i}}}} \Rightarrow {\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{x - {x_i}}}} } \right)^\prime } \Rightarrow \frac{{f''\left( x \right).f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = - \sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{{{\left( {x - {x_i}} \right)}^2}}} < 0} ,\forall x\)
hay \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} - f''\left( x \right).f\left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \ne {x_i}\)
Vậy trong mọi trường hợp phương trình \(g(x)=0\) đều vô nghiệm.
Câu hỏi liên quan
-
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x {{\rm{e}}^x}\), trục hoành và đường thẳng x = 1 là:
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z - 2i} \right| \le \left| {z - 4i} \right|\) và \(\left| {z - 3 - 3i} \right| = 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 2} \right|\)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(a, SA\) vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng \(30^0\). Tính thể tích V của khối chóp.
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3, BC = 4, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), biết SA = 4. Gọi M, N lần lượt là chiều cao của A lên cạnh SB và SC. Thể tích khối tứ diện AMNC là
-
Cho parabol \((P):y=x^2\) và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.
-
Ông Bách dự định đầu tư khoản tiền 20 triệu đồng vào một dự án với lãi suất tăng dần: 3,35%/năm trong 3 năm đầu, 3,75%/năm trong 2 năm kế tiếp và 4,8%/năm ở 5 năm cuối. Khoản tiền mà ông Bách nhận được (cả vốn và lãi) cuối năm thứ 10 là
-
Cho hàm số\(y=f(x)\) có đồ thị \(y=f'(x)\) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ như hình vẽ.
.png)
Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?
-
Cho các số thực \(a, b, c\) thỏa \({\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a - 4} \right) + b\left( {b - 4} \right) + c\left( {c - 4} \right).\) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{a + 2b + 3c}}{{a + b + c}}\) bằng
-
Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_2=-2\) và \(u_5=54\) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
-
Cho \(a = {\log _2}m\) và \(A = {\log _m}8m\), với \(0 < m \ne 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\). Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = \left( {1 - i} \right)\overline z + 2i\) là
-
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm, liên tục trên R. Gọi \(d_1, d_2\) lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( {{x^4}} \right)\) và \(y = g\left( x \right) = {x^3}f\left( {6x - 5} \right)\) tại điểm có hoành độ bằng 1. Biết rằng hai đường thẳng \(d_1, d_2\) có tích hệ số góc bằng - 6, giá trị nhỏ nhất của \(Q = {\left| {f\left( 1 \right)} \right|^3} - 3\left| {f\left( 1 \right)} \right| + 2\) bằng
-
Cho hình vuông \(V_1\) có chu vi bằng 1. Người ta nối các trung điểm của các cạnh một cách thích hợp để có hình vuông \(V_2\) (tham khảo hình vẽ bên). Từ hình vuông \(V_2\) tiếp tục làm như trên ta được dãy các hình vuông \({V_1},{\rm{ }}{V_2},{\rm{ }}{V_3},...\) Tổng chu vi các hình vuông đó bằng
.png)
-
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn [0;10] và \(\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x = 7} \) và \(\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \). Tính \(P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \).
-
Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}x--2y + 7 = 0\) là:
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right)} .\)
-
Biết rằng \(\int\limits_0^\pi {{e^x}\cos xdx} = a{e^\pi } + b\) trong đó \(a,b \in Q\). Tính \(P=a+b\)
-
Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
.png)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 2018 để phương trình \({e^{\sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} - \sqrt {x + \frac{1}{x} + m} }} = \frac{{{x^3} + m{x^2} + x}}{{{x^4} + 1}}\) có nghiệm thực dương?
