Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( -10;6;-2 \right),B\left( -5;10;-9 \right)\) và mp \(\left( \alpha \right):2x-2y-z+12=0\). Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) thuộc \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(MA,MB\) tạo với \(\left( \alpha \right)\) các góc bằng nhau và biểu thức \(T=2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a+b+c\) bằng?
Suy nghĩ trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), khi đó:
\(AH=d\left( A;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -10 \right)-2.6-\left( -2 \right)+12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6\);
\(BK=d\left( B;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -5 \right)-2.10-\left( -9 \right)+12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3\).
Vì \(MA\), \(MB\) tạo với \(\left( \alpha \right)\) các góc bằng nhau nên \(\widehat{AMH}=\widehat{BMK}\). Từ \(AH=2BK\) suy ra \(MA=2MB\).
Ta có: \(MA=2MB\)\(\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}\)
\(\Leftrightarrow {{\left( a+10 \right)}^{2}}+{{\left( b-6 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}=4\left[ {{\left( a+5 \right)}^{2}}+{{\left( b-10 \right)}^{2}}+{{\left( c+9 \right)}^{2}} \right]\)
\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{20}{3}a-\frac{68}{3}b+\frac{68}{3}c+228=0\).
Như vậy, điểm \(M\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -\frac{10}{3};\frac{34}{3};-\frac{34}{3} \right)\) và bán kính \(R=2\sqrt{10}\).
Mà \(M\) thuộc \(\left( \alpha \right)\)
Do đó, M thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) là giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), nên tâm \(J\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Tìm được \(J=\left( -2;10;-12 \right)\) và bán kính \(\left( C \right)\) là \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{J}^{2}}}=6\)
Gọi điểm \(E\) thỏa mãn \(2\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow E\left( -15;2;5 \right).\)
Khi đó \(T=2{{\left( \overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB} \right)}^{2}}=M{{E}^{2}}+2E{{A}^{2}}-E{{B}^{2}}\) và \(2E{{A}^{2}}-E{{B}^{2}}\) không đổi.
Vậy \({{T}_{\min }}\Leftrightarrow M{{E}_{\text{min}}}\)
Gọi \(F\) là hình chiếu của \(E\) trên \(\left( \alpha \right)\), tìm được \(F\left( -9;-4;2 \right)\Rightarrow FJ=21>r\) nên \(F\) nằm ngoài\(\left( C \right)\).
Suy ra \(F{{M}_{\min }}=FJ-r=15.\)
Khi đó \(M{{E}_{\text{min}}}=\sqrt{E{{F}^{2}}+FM_{\min }^{2}}=3\sqrt{34}\) khi \(M\) là giao điểm của \(FJ\) và \(\left( C \right)\), M nằm giữa \(F,J\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{FM}=\frac{15}{21}\overrightarrow{FJ}=\frac{5}{7}\overrightarrow{FJ}\Rightarrow M\left( -4;6;-8 \right)\Rightarrow a+b+c=-6.\)
Chọn B
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Lương Văn Can
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có BBT như sau:
.PNG)
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y=f\left( x \right)+1\) bằng?
-
Cho hình trụ có bán kính đáy \(r=3\) và độ dài đường sinh \(l=5.\) Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ đã cho bằng?
-
Cho hàm số bậc 4 sau \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\ \left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)\) và hàm số bậc 3 sau \(g\left( x \right)=m{{x}^{3}}+n{{x}^{2}}+px+q\ \left( m,n,p,q\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị \(y=f'\left( x \right)\) và \(y=g'\left( x \right)\) như hình:
.PNG)
Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) bằng 96 và \(f\left( 2 \right)=g\left( 2 \right)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)\) và \(x=0,\ x=2\) bằng?
-
Cho khối chóp có thể tích \(4{{a}^{3}}\) và diện tích đáy \(4{{a}^{2}}.\) Tính chiều cao của khối chóp đã cho?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, tam giác \(ABC\) có \(AB=a,\)\(AC=2a,\widehat{\,BAC}=120{}^\circ \) (tham khảo hình). Khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) bằng?
.PNG)
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho 2 điểm \(A\left( -2;0;1 \right)\) và \(B\left( -2;2;-3 \right).\) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là/
-
Cho hình trụ có 2 đáy là hình tròn tâm \(O\) và \({O}'\), chiều cao \(h=a\sqrt{3}\). Mặt phẳng đi qua tâm \(O\) và tạo với \(O{O}'\) một góc \(30{}^\circ \), cắt hai đường tròn tâm \(O\) và \(O'\) tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ và diện tích bằng \(3{{a}^{2}}.\) Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng?
-
Một cấp số cộng có 2 số hạng liên tiếp là \(-6\) và \(4.\) Số hạng tiếp theo của cấp số cộng là?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho 2 điểm \(A\left( 2;4;1 \right),B\left( -1;1;3 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x-3y+2z-5=0.\) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A,B\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình dạng \(ax+by+cz+11=0.\) Tổng \(a+b+c\) bằng?
-
Trong các khẳng định bên dưới đây, khẳng định nào sai?
-
Hàm số nào có bảng biến thiên như hình sau:
-
Xét các số thực \(x,y\)thỏa mãn \({{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}\). GTLN của biểu thức \(P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\) gần nhất với số nào?
-
Nguyên hàm của hàm số sau \(f\left( x \right)=4x+\sin x\) là?
-
Đạo hàm của hàm số sau \(y={{\log }_{3}}\left( 3x+1 \right)\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho 2 điểm \(A\left( 1;-2;5 \right)\) và \(B\left( -2;-2;1 \right).\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng?
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị hàm số nào trong 4 hàm số dưới đây?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=-x+2\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?
-
Nghiệm của phương trình sau \({{2}^{1-3x}}=\frac{1}{32}\) là?
-
Cho khối lăng trụ tam giác có chiều cao \(h=3\) và đáy là tam giác đều cạnh \(a=2.\) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho bằng?
-
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(1\left( m \right)\) như hình:
.PNG)
Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(x\,\left( m \right)\) sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp. Giá trị của \(x\) để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất là?
