\(\text { Cho dãy số } u_{1}=\frac{3}{2} \text { và } u_{n+1}=\frac{3 u_{n}}{(n+2) u_{n}+3} \text {. Giới hạn của dãy số } x_{n}=\sum_{i=1}^{n} u_{i} \text { bằng: }\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } v_{n}=\frac{1}{u_{n}} \\ &\text { Ta có } v_{1}=\frac{1}{u_{1}}=\frac{2}{3} \\ &\qquad v_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{(n+2) u_{n}+3}{3 u_{n}}=\frac{n+2}{3}+\frac{1}{u_{n}}=v_{n}+\frac{n+2}{3} \end{aligned}\)
\(\text { Lại có }\left\{\begin{array}{l} v_{1}=\frac{2}{3} \\ v_{2}=v_{1}+1 \\ v_{3}=v_{2}+\frac{4}{3} \\ \ldots \\ v_{n}=v_{n-1}+\frac{n+1}{3} \end{array}\right.\)
Cộng vế theo vế các phương trình trên ta có:
\(\begin{aligned} &v_{n}=\frac{2}{3}+1+\frac{4}{3}+\ldots+\frac{n+1}{3}=\frac{2+3+4+5+\ldots+(n+1)}{3}=\frac{n(2+n+1)}{3.2}=\frac{n(n+3)}{6}\\ &\text { Suy ra dãy số }\left(v_{n}\right) \text { có số hạng tổng quát } v_{n}=\frac{n(n+3)}{6}\\ &\Rightarrow u_{n}=\frac{6}{n(n+3)}\\ &\Rightarrow x_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{6}{i(i+3)} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Vì }\\ &\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+\ldots+\frac{1}{n(n+3)}=\frac{1}{3} \cdot\left(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)=\frac{1}{3} \cdot\left[1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{n+3}\right)\right]\\ &=\frac{1}{3} \cdot\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)=\frac{1}{3} \cdot \frac{11 n^{3}+48 n^{2}+49 n}{6\left(n^{3}+6 n^{2}+11 n+6\right)}\\ &\text { nên } x_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{6}{i(i+3)}=6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{11 n^{3}+48 n^{2}+49 n}{6\left(n^{3}+6 n^{2}+11 n+6\right)}=\frac{11 n^{3}+48 n^{2}+49 n}{3\left(n^{3}+6 n^{2}+11 n+6\right)}\\ &\text { Suy ra } \lim x_{n}=\lim \left(\frac{11 n^{3}+48 n^{2}+49 n}{3\left(n^{3}+6 n^{2}+11 n+6\right)}\right)=\lim \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{11+\frac{48}{n}+\frac{49}{n^{2}}}{1+\frac{6}{n}+\frac{11}{n^{2}}+\frac{6}{n^{3}}}\right)=\frac{11}{3}\\ &\text { Vậy } \lim x_{n}=\frac{11}{3} \text {. } \end{aligned}\)
