Tính tích phân \(I=\int_{0}^{2} \max \left\{x ; x^{3}\right\} d x\)

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x - 1\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 1\\ {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{1}^{13}{f\left( \sqrt{x+3}-2 \right)}\text{d}x\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = −x, y = 2x − x² có kết quả là

Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn \(f(x)+x f\left(1-x^{2}\right)+3 f(1-x)=\frac{1}{x+1}\).Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)?

\(\displaystyle  \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} \) bằng

Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{2}{x+1} & \text { khi } & 0 \leq x \leq 1 \\ 2 x-1 & \text { khi } & 1 \leq x \leq 3 \end{array}\right.\). Tính \(\int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x\)

Cho \(\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{-1}^{2} g(x) \mathrm{d} x=-1 . \text { Tính } I=\int_{-1}^{2}[x+2 f(x)-3 g(x)] \mathrm{d} x\)

Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x \cos 2 x d x\) có giá trị bằng

Biết rằng  \(\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in Z)\). Mệnh đề nào sau đây đúng
 

Cho tích phân \( \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sin x}}{{cosx + 2}}d{\rm{x}} = a\ln 5 + b\ln 2\) với a,b ∈Z.  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c ∈ K. Mệnh đề nào sau đây sai?

Tính tích phân sau: \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\sin ^5}xdx\)

Cho giá trị của tích phân \(I_{1}=\int_{-1}^{1}\left(x^{4}+2 x^{3}\right) d x=a, I_{2}=\int_{-2}^{-1}\left(x^{2}+3 x\right) d x=b\). Giá trị của \(P={a\over b}\)

Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³, trục Ox, x = −1, x = 1 một vòng quanh trục Ox là:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn \(f({x^3} + 2x – 2) = 3x – 1\) với \(\forall x \in R\). Tính tích phân \(I = \int\limits_1^{10} {f(x)} dx\)

Cho hàm số \(\begin{equation} f(x), g(x) \text { liên tục trên }[0 ; 1] \text { và } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=-1, \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x=2 \text {. Tính } \int_{0}^{1}[2 f(x)+3 g(x)] \mathrm{d} x \end{equation}\)

Biết rằng \(\begin{equation} \int_{1}^{2} \frac{x^{3}-1}{x^{2}+x} \mathrm{~d} x=a+b \ln 3+c \ln 2 \text { với } a, b, c \text { là các số hữu tỉ. Tính } 2 a+3 b-4 c \text {. } \end{equation}\)

Tính tích phân sau: \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 \left| {{x^2} - 1} \right|dx\)

Cho hàm số y = f(x) với f(0) = f(1) = 1. Biết rằng:\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WGLbWaaWbaaSqabeaacaWG4baaaOWaamWaaeaacaWGMbWaaeWaaeaa % caWG4baacaGLOaGaayzkaaGaey4kaSIabmOzayaafaWaaeWaaeaaca % WG4baacaGLOaGaayzkaaaacaGLBbGaayzxaaGaaeizaiaadIhaaSqa % aiaaicdaaeaacaaIXaaaniabgUIiYdGccqGH9aqpcaWGHbGaamyzai % abgUcaRiaadkgaaaa!4C3F! \int\limits_0^1 {{e^x}\left[ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = ae + b\)  Tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyuaiabg2 % da9iaadggadaahaaWcbeqaaiaaikdacaaIWaGaaGymaiaaiEdaaaGc % cqGHRaWkcaWGIbWaaWbaaSqabeaacaaIYaGaaGimaiaaigdacaaI3a % aaaaaa!40C7! Q = {a^{2017}} + {b^{2017}}\)

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường\(y=x^{2}, y=0, x=0, x=4\) . Đường thẳng \(y=k(0<k<16)\) chia  hình thành hai  phần có diện tích \(S_{1}, S_{2}\) , (hình vẽ). Tìm k để \(S_{1}=S_{2}\)