Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ {2x - 3}&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(2\sin x-1)\cos x~dx}+\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tích \(a+b\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(2\sin x-1)\cos x~dx}+\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}\)
Đặt \(t=2\sin x-1\Rightarrow dt=2\cos xdx\Rightarrow \cos xdx=\frac{dt}{2}\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = - 1\\ x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}\)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ {2x - 3}&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{2}\left( \int\limits_{-1}^{0}{\left( 2x-3 \right)dx+}\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)dx} \right)=-\frac{13}{12}\).
Đặt \(t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = e \Rightarrow t = 1\\ x = {e^2} \Rightarrow t = 2 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}\)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ {2x - 3}&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow I=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)dx}=\frac{29}{6}\).
\(\Rightarrow I={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=-\frac{377}{72}\Rightarrow a=-377,\ b=72\)
Vậy \(a+b=-305\)
