Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{(\sin x+\cos x)^{3}} d x\) là
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(x=\frac{\pi}{2}-u \Rightarrow d x=-d u\)
Đổi cận: \(x=0 \Rightarrow \mathrm{u}=\frac{\pi}{2} ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \mathrm{u}=0\)
Ta có
\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \left(\frac{\pi}{2}-u\right) d u}{\left[\sin \left(\frac{\pi}{2}-u\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-u\right)\right]^{3}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x d x}{(\sin x+\cos x)^{3}}\)
\(2 \mathrm{I}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x+\cos x}{(\sin x+\cos x)^{2}} d x=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{(\sin x+\cos x)^{2}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{2 \cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=\left.\frac{\tan \left(x-\frac{\pi}{4}\right)}{2}\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=1\)
Vậy \(I=\frac{1}{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?
-
Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} x^{5}\left(1-x^{3}\right)^{6} d x\) là
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 2x + 3}&{{\rm{ khi }}x \ge 2}\\ {x + 1}&{{\rm{ khi }}x < 2} \end{array}} \right.\). Khi đó \(I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)}dx\) bằng
-
Cho \(\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} d x=\ln \frac{2+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}, a\, \mathrm{và}\, b\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(a\over b\) là:
-
Tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaaG4maiaadIhacaGGUaGaamyzamaaCaaaleqabaGa % aGOmaiaadIhaaaGccaqGKbGaamiEaaWcbaGaaGimaaqaaiaaigdaa0 % Gaey4kIipaaaa!42D0! I = \int\limits_0^1 {3x.{e^{2x}}{\rm{d}}x} \)
-
Cho \(I=\int_{0}^{\frac{x}{4}} x \tan ^{2} x d x=\frac{\pi}{a}-\ln \sqrt{b}-\frac{\pi^{2}}{32}\) khi đó tổng a +b bằng
-
\(\displaystyle \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} \) bằng
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số \(y=x^{2} \sqrt{x^{2}+1}\), trục Ox và đường thẳng x =1 bằng \(\frac{a \sqrt{b}-\ln (1+\sqrt{b})}{c}\) với a,b,c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a+b+c là
-
Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=2 x, y=\frac{1-x}{x}, y=0\) (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên).
-
Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+e^{x}}\) là
-
Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y = \({\left( {x - 2} \right)^2}\) và y = 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Ox
-
Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{{{e^x}.\sin x}}{{1 + \sin 2x}}dx\)
-
Cho hàm y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;5] và f(5) = 10; \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGabmOzayaafaWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaeiz % aiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaacaaI1aaaniabgUIiYdGccqGH9aqpca % aIZaGaaGimaaaa!42BB! \int\limits_0^5 {xf'\left( x \right){\rm{d}}x} = 30\). Tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WGMbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaeizaiaadIhaaSqa % aiaaicdaaeaacaaI1aaaniabgUIiYdaaaa!3F2B! \int\limits_0^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
-
Biết rằng \(\mathop \smallint \nolimits_1^5 \frac{1}{{2x - 1}}dx = \ln \;a.\). Giá trị của a là :
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\\ f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + 3xy\left( {x + y} \right) - 1 \end{array} \right.\), với \(x,y\in \mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x-1 \right)}\text{d}x\).
-
Cho hàm số \(y=f(x)>0\) xác định, có đạo hàm trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn \(g(x)=1+2018 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text { và } g(x)=f^{2}(x)\) . Tính \(\int_{0}^{1} \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x\)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{x}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 1}\\ {x + 1}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 1} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{-2}^{1}{f(\sqrt[3]{1-x})\text{d}x}=\frac{m}{n}\) (\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản), khi đó m-2n bằng:
-
Tính \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 x.{e^{2x}}dx\)
-
Biết \(\int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}+3 x+3}{x^{2}+2 x+1} \mathrm{d} x=a-\ln b \text { vói } a, b\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a^{2}+b^{2}\)
-
Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c\) , các đường thẳng x =1, x = 2 và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây.
