Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường : \(y=f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} ; y=g(x)=\frac{x^{2}}{2}\).Tính thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng \(T=m \pi^{2}+n \pi ; \mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{R}\) thì tổng giá trị m + n là ?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét phương trình \(\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \end{array}\right.\)
Như vậy, thể tích cần tìm sẽ được tính theo công thức:
\(V=\pi \int_{-1}^{1}\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| d x\)
\(V=\pi \int\limits_{-1}^{1}\left|\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{2}-\frac{x^{4}}{4}\right| d x=\pi\left|\int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x-\int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{4} d x\right| \pi\left|\int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x-\frac{x^{5}}{20}\right|_{-1}^{1}|=\pi| \int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x-\frac{1}{10} \mid\)
\(V=\pi\left|I-\frac{1}{10}\right| \text { với } I=\int_{-1}^{1} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x\)
Tính I:
Đặt \(x=\tan t, t \in\left(\frac{-\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right) d x=\frac{1}{\cos ^{2} t} d t=\left(1+\tan ^{2} t\right) d t\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l} I=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\tan ^{2} t}{\left(1+\tan ^{2} t\right)^{2}} d t=\int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{2} t d t=\frac{1}{2} \int\limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}(1+\cos 2 t) d t \\ \Rightarrow I=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} V=\pi\left|\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{10}\right|=\frac{\pi^{2}}{4}+\frac{2 \pi}{5} \end{array}\)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{4},n=\frac{2}{5}\Rightarrow m+n=\frac{13}{20}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^4 \left| {x - 2} \right|dx\) bằng:
-
Cho parabol (P) có đồ thị như hình vẽ:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) với trục hoành.
-
Cho \(\mathop \smallint \nolimits_1^3 f\left( x \right)dx = - 5,\;\mathop \smallint \nolimits_1^3 \left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx = 9.\). Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_1^3 g\left( x \right)dx\)
-
Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+e^{x}}\) là
-
Tính \(\displaystyle \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx} \)
-
Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=0, y=\sqrt{x}, y=x-2\)
-
Giá trị của \(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} \) là:
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {(x – 2){e^{2x}}dx} \)
-
Giá trị của \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaada % qadaqaaiaadIhacqGHRaWkcaaIXaaacaGLOaGaayzkaaGaaeyzamaa % CaaaleqabaGaamiEaaaakiaabsgacaWG4baaleaacaaIWaaabaGaaG % ymaaqdcqGHRiI8aaaa!41F4! \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} \)
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{4}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} \)
-
Cho hàm số f (x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên R và thỏa mãn \(f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(2) \neq 0\) và \(g(x) f^{\prime}(x)=x(x-2) \mathrm{e}^{x}\) . Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{2} f(x) \cdot g^{\prime}(x) \mathrm{d} x ?\)
-
Xét hàm số f(x) liên tục trên[-1;2] và thỏa mãn \(f(x)+2 x f\left(x^{2}-2\right)+3 f(1-x)=4 x^{3}\) . Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{-1}^{2} f(x) d x\)
-
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin \;xdx\) bằng:
-
Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 6 x^{2} & \text { khi } \quad x \leq 0 \\ a-a^{2} x & \text { khi } \quad x \geq 0 \end{array}\right. \text { và } I=\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x\). Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên a để \(I+22 \geq 0 ?\)
-
Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn [1;4] thỏa mãn f(1)=1 và \(\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]^{2}=4 f(x), \forall x \in[1 ; 4]\). Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x=1, x=4\).
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(f_{1}(x) \text { và } f_{2}(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và hai đường thẳng x =a, x =b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình (H ) là:
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục và hai đường thẳng x = a, x = b x = a, x = b được tính theo công thức:
-
Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_1^2 \frac{{dx}}{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
-
Tích phân \(I=\int_{1}^{a} \frac{x^{2}+1}{x^{3}+3 x} d x=\frac{1}{3} \ln \frac{7}{2}\) . Giá trị của a là
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] đồng thời thỏa mãn \(f^{\prime}(0)=9\) và \(9 f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)-x\right]^{2}=9\) . Tính \(T=f(1)-f(0)\)
