Nếu \(\displaystyle  \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx}  = 5,\int\limits_b^d {f\left( x \right)dx}  = 2\) với \(\displaystyle  a < d < b\) thì \(\displaystyle  \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) bằng

Tính \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1)dx} \)

Kết quả tính \(I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{(1+x)^{3}}\) là

Giá trị tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+3 \cos x} d x\) là
 

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vân tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có đỉnh I(2;9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó được :

Tích phân \(I=\int_{-1}^{1}\left(a x^{3}+\frac{b}{x+2}\right) d x\) có giá trị là

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn [a;b] . Mệnh đề nào dưới đây sai? 

Biết rằng  \(\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in Z)\). Mệnh đề nào sau đây đúng
 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = {x^2};\;y = \frac{1}{{27}}{x^2};\;y = \frac{{27}}{x}\) bằng

Biết tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGaaiOlaiaadwgadaahaaWcbeqaaiaaikdacaWG4baaaOGaaeiz % aiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaacaaIXaaaniabgUIiYdGccqGH9aqpda % WcaaqaaiaadwgadaahaaWcbeqaaiaadggaaaGccqGHRaWkcaWGIbaa % baGaaGinaaaaaaa!45ED! \int\limits_0^1 {x.{e^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{e^a} + b}}{4}\) với \(a,b \in Z\). Tính a +b

Giả sử \(\int_{2}^{3} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-x+1} \mathrm{d} x=a \ln 7+b \ln 3+c \text { vói } a, b, c \in \mathbb{Z}\). Tính \(T=a+2 b^{2}+3 c^{3}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;1} \right\}\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x – 2}}; f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\) và \(f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right) = 0\). Tính giá trị biểu thức \(T = f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right)\).

\(\displaystyle  \int\limits_0^1 {x{e^{1 - x}}dx} \) bằng

Tích phân \(I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{x+1}{x^{2}} d x\) có giá trị là

Cho hàm số f (x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}-1} ; f(-3)+f(3)=0 \text { và } f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=2\). Tính giá trị biểu thức \(P=f(0)+f(4)\)?

Tích phân \(I=\int_{-1}^{1}\left|x^{3}+x^{2}-x-1\right| d x\) có giá trị là:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;\,1} \right]\) và \(f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}, \forall x \in \left[ {0;\,1} \right]\).

Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

Nếu \(\int_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – x} \right]{\rm{d}}x} = 5\) thì \(\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=x^{2}+x-2, y=x+2\)và hai đường thẳng \(x=-2 ; x=3\). Diện tích của (H) bằng

Biết \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+x \cos x-\sin ^{3} x}{1+\cos x} \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{a}-\frac{b}{c}\). Trong đó a , b , c là các số nguyên dương, phân số \(\frac{b}{c}\) tối giản. Tính \(T=a^{2}+b^{2}+c^{2}\)

Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn \(\left\{\begin{array}{c} f(x) \cdot f(a-x)=1 \\ f(x)>0, \forall x \in[0 ; a] \end{array}\right.\)và \(\int_{0}^{a} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}=\frac{b a}{c}\), trong đó b , c là hai số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó b+c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?