Biết số phức z = x + yi (x;y thuộc R) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \( |z - (3 + 4i) | = \sqrt5\) và biểu thức P = | z + 2 |2 - | z - i |2 đạt giá trị lớn nhất. Tính | z |.
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì \( \left| {z - \left( {3 + 4i} \right)} \right| = \sqrt 5 \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5.\)
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I(3;4) và bán kính R=√5
Ta có
\( \begin{array}{l} P = {\left| {\left( {x + 2} \right) + yi} \right|^2} - {\left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right|^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} - \left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right]\\ = 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow 4x + 2y + 3 - P = 0. \end{array}\)
Ta tìm P sao cho đường thẳng Δ:4x+2y+3−P=0 và đường tròn (C) có điểm chung
\( \Leftrightarrow d\left[ {I,{\rm{\Delta }}} \right] \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {12 + 8 + 3 - P} \right|}}{{\sqrt {20} }} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {23 - P} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le P \le 33.\)
Do đó: \( {P_{\max }} = 33\) .Dấu ′″=″ xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x + 2y - 30 = 0\\ {(x - 3)^2} + {(y - 4)^2} = 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5\\ y = 5 \end{array} \right.\)
Vậy \( \left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \)
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức \(z = (1+ i)^2 (1+ 2i)\) . Số phức z có phần ảo là
-
Cho số phức z thỏa mãn \(z \bar{z}=1 \text { và }|\bar{z}-1|=2\) . Tính tổng phần thực và phần ảo của z
-
Giả sử M, N, P, Q, đượccho ở hình vẽ bên là điểm biểu diễn của các số phức \(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\) trênmặt phẳng tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Xét số phức z thỏa mãn \(z^{2}=(1+i)|z|-2(1-i)\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho hai số phức \(z_{1}=a+b i(a ; b \in \mathbb{R}) \text { và } z_{2}=3-4 i\). Biết \(z_{1}=z_{2}^{2}, \text { tính } P=a b\)
-
Số phức \(z = \frac{{4 - 3i}}{i}\) có phần thực là:
-
Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn \(\left.\left|z^{2}+(\bar{z})^{2}+2\right| z\right|^{2} \mid=16\) là hai đường thẳng \(d_{1}, d_{2}\) . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(d_{1}, d_{2}\) là bao nhiêu?
-
Nếu \(|z|=1\) thì \(\frac{{{z^2} - 1}}{z}\)
-
Cho số phức z thỏa mãn \((1-2 i)=3+i\). Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm I, J, K, H ở hình bên?
-
Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| \ge 3\) và \(\left| {z - 1} \right| \le 5\). Gọi \({z_1},{z_2} \in T\) lần lượt là các số phức có môdun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức \({z_1} + 2{z_2}\)
-
Cho số phức (z ) thỏa mãn| z2 - 2z + 5| = | (z - 1 + 2i)(z + 3i - 1)|. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =| w | với w = z - 2 + 2i
-
Cho biết có hai số phức z thỏa mãn z2 = 119−120i, kí hiệu là z1 và z2.
Tính \({\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2}\)
-
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa\(|3zi + 4| = \sqrt 3 \) là
-
Cho hai số phức z , w thỏa mãn \(|z+2 w|=3,|2 z+3 w|=6 \text { và }|z+4 w|=7\) . Tính giá trị của biểu thức \(P=z \cdot \bar{w}+\bar{z} \cdot w\)
-
Cho z = 3 + 4i , tìm phần thực, phần ảo của số phức \(\frac{1}{z}\)
-
Trong mặt phẳng phức, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức \({\left( {z - \bar z} \right)^2}\) với \(z = a + bi\left( {a,b \in R,\;b \ne 0} \right)\)
Chọn kết luận đúng
-
Số phức z = - 1 - m + mi là số thực nếu:
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(|z-(3-4 i)|=2 \) là đường tròn có tâm
-
Cho hai số phức \(z_1 = 1+ 2i,\,z_2 = 2 - 3i\) . Phần ảo của số phức \( w = 3z_1 - 2z_2 \) là
-
Trong mặt phẳng Oxy, M,N,P là tọa độ điểm biểu diễn của số phức \({z_1} = - 5 + 6i;{z_2} = - 4 - i;{z_3} = 4 + 3i\)
Tọa độ trực tâm H của tam giác MNP là:
