Cho các hàm số sau
\(\begin{array}{l} a.y = - {\sin ^2}x\\ b.y = 3{\tan ^2}x + 1\\ c.y = \sin x\cos x\\ d.y = \sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x \end{array}\)
Có bao nhiêu hàm số trên thoả mãn \(f(x + k\pi ) = f(x)\) với k∈Z, x thuộc tập xác định của hàm số f?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới k ∈ Z ta có:
\(\begin{array}{l} a.f(x) = - {\sin ^2}x\\ f(x + k\pi ) = - {\sin ^2}(x + k\pi ) = - {\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^k}\sin x} \right]^2} = - {\sin ^2}x = f\left( x \right)\\ b.f\left( x \right) = 3{\tan ^2}x + 1\\ f\left( {x + k\pi } \right) = 3{\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) + 1 = 3{\tan ^2}x + 1 = f\left( x \right)\\ c.f(x) = \sin x\cos x\\ f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right).\cos \left( {x + k\pi } \right) = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x.{\left( { - 1} \right)^k}\cos x\\ = \sin x\cos x = f\left( x \right)\\ d.f\left( x \right) = \sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right)\cos \left( {x + k\pi } \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right)\\ {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x{\left( { - 1} \right)^k}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x = \sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x = f\left( x \right) \end{array}\)
