Cho các số phức \(z_{1}, z_{2}, z_{3}\) thoả mãn các điều kiện \(\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|=3\). Mô đun của số phức \(z_{1}+z_{2}\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right|=3 \Leftrightarrow\left|\frac{z_{1}}{3}\right|=\left|\frac{z_{2}}{3}\right|=\left|\frac{z_{1}-z_{2}}{3}\right|=1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \frac{z_{1}}{3}=\cos \varphi_{1}+i \sin \varphi_{1} \\ \frac{z_{2}}{3}=\cos \varphi_{2}+i \sin \varphi_{2} \end{array}\right.\)
Suy ra \(\frac{z_{1}-z_{2}}{3}=\cos \varphi_{1}-\cos \varphi_{2}+i\left(\sin \varphi_{1}-\sin \varphi_{2}\right)\)
\(\left|\frac{z_{1}-z_{2}}{3}\right|=1 \Leftrightarrow\left(\cos \varphi_{1}-\cos \varphi_{2}\right)^{2}+\left(\sin \varphi_{1}-\sin \varphi_{2}\right)^{2}=1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2-2\left(\cos \varphi_{1} \cos \varphi_{2}+\sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2}\right)=1 \\ \Leftrightarrow 1-2 \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=0 \Leftrightarrow \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=\frac{1}{2} \end{array}\)
Vậy \(\frac{z_{1}+z_{2}}{3}=\cos \varphi_{1}+\cos \varphi_{2}+i\left(\sin \varphi_{1}+\sin \varphi_{2}\right)\)
Suy ra \(\left|\frac{z_{1}+z_{2}}{3}\right|^{2}=\left(\cos \varphi_{1}+\cos \varphi_{2}\right)^{2}+\left(\sin \varphi_{1}+\sin \varphi_{2}\right)^{2}=2+2 \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)=3\)
Vậy \(\left|z_{1}+z_{2}\right|=3 \sqrt{3}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tính môđun của số phức z thỏa mãn \((-5+2 i) z=-3+4 i\)
-
Cho số phức z có mođun bằng 2017 và w là số phức thỏa biểu thức \(\frac{1}{z}+\frac{1}{w}=\frac{1}{z+w}\). Mođun của số phức w là
-
Điểm M trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức z. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(z \bar{z}=1 \text { và }|\bar{z}-1|=2\) . Tính tổng phần thực và phần ảo của z
-
Cho số phức z thỏa z = 1+ i+ i2+ i3+...+ i2016. Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là
-
Cho \(z_{1}=2+3 i ; z_{2}=1+i . \operatorname{Tính}\left|\frac{z_{1}^{3}+z_{2}}{z_{1}+z_{2}}\right|\)
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: \(|z+3+2 i|=3|z+2+3 i|\) . Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z là đường có phương trình.
-
Cho hai số phức \(z_{1}=1-i \text { và } z_{2}=-3+5 i\) . Môđun của số phức \(w=z_{1} \cdot \bar{z}_{2}+z_{2}\)
-
Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn \(\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=1\). Khi đó \(\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}\) bằng0
-
Cho số phức z = -3 + 2i. Tính P = |z + 1 – i|.
-
Phần thực và phần ảo của các số phức \(\frac{3}{{1 + 2i}}\) là:
-
Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z = -3 + 2i. Giá trị của a+ 2b bằng
-
Trong các số phức z thỏa mãn | z + 3 + 4i | = 2 , gọi z0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. Khi đó:
-
Phần thực và phần ảo của số phức z = (3 + 4i)(4 - 3i) + (2 - i)(3 + 2i) là
-
Đường nào dưới đây là tập hợp các các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - i} \right| = \left| {z + i} \right|\)?
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((3 + 2i) z + (2 - i )^2 = 4 + i\)Tìm phần ảo của số phức \(w = (1+ z ) \overline z\)
-
Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?
-
Tìm phần ảo của số phức \(z = (1- i)^2 + (1+ i)^2\) .
-
Trên mặt phẳng tạo độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z-i|=|i z|\) là
-
Cho z, w là các số phức thỏa mãn \(|z|=1,|z-w|=1\). Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w .
