Cho các số phức z thỏa mãn \(|z-3+4 i|=2\) và cho số phức \(w=2 z+1-i\) . Khi đó |w| có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } z=x+y i \text { với } x, y \in \mathbb{R} \text { . }\\ &\text { Khi đó }|z-3+4 i|=2 \Leftrightarrow(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4\\ &\text { Goi } M \text { là điểm biểu diễn hình học của số phức } z \text { ta có } M \in(I ; 2) \text { với } I(3 ;-4) \text { . }\\ &\mathrm{w}=2 z+1-i=2 x+1+(2 y-1) i \Rightarrow|\mathrm{w}|=\sqrt{(2 x+1)^{2}+(2 y-1)^{2}}=\sqrt{4\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}\right]} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Gọi } A\left(-\frac{1}{2} ; \frac{1}{2}\right) \text { suy ra }|\mathrm{w}|=\sqrt{4\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}\right]}=2 A M\\ &\text { Dễ thấy } A I=\sqrt{\left(3+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(-4-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{130}}{2}>2 \text { nên } A \text { nằm ngoài }(I ; 2) \text { . } \end{aligned}\)
Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn (I;2) tại BC, như hình vẽ.
Có \(A M \leq A C \text { nên } A M_{\max }=A C\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(M \equiv C \). Khi đó \(A C=A I+I C=\frac{\sqrt{130}}{2}+2=\frac{\sqrt{130}+4}{2}\)
\(\text { Vậy }|\mathrm{w}|_{\max }=2 A C=\sqrt{130}+4 \text { . }\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức z thỏa mản \((1+i)^{2}(2-i) z=8+i+(1+2 i) z\) . Phần ảo của số phức z là:
-
Tìm các số thực (x, y ) thỏa mãn đẳng thức 3x + y + 5xi = 2y - (x - y)i
-
Cho số phức z thỏa mãn Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau \(\left| {z + 1} \right| = \left| {\frac{{z + \overline z }}{2} + 3} \right|\), hãy tìm căn bậc hai của số phức z có môđun nhỏ nhất.
-
Tính môđun của số phức z = 2 + i + i2019
-
Tìm môđun của số phức z , biết \( \frac{1}{{{z^2}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)
-
Kí hiệu \(z_{1}, \quad z_{2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(3 z^{2}-z+1=0\) . Tính \(P=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\)
-
Cho i là đơn vị ảo. Giá trị của biểu thức \(z = (i^5 + i^4 + i^3 + i^2 + i + 1)^{20} \) là
-
Cho số phức z thỏa mãn |z - 2| = 2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (1 - i)z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó
-
Có bao nhiêu số phức z có phần thực khác 0, thỏa mãn \(\left| {z – \left( {3 + i} \right)} \right| = 5\) và \(z.\overline z = 25\)?
-
Cho z là nghiệm phức của phương trình \(x^{2}+x+1=0\). Tính \(P=z^{4}+2 z^{3}-z\).
-
Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức z; iz và z + i; z tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18. Mô đun của số phức z bằng
-
Cho số phức \(z=a+b i(\text { với } a, b \in \mathbb{R}) \text { thỏa }|z|(2+i)=z-1+i(2 z+3) . \text { Tinh } S=a+b\).
-
Cho số phức z = 2 + 4i . Tìm số phức \(w = iz + \overline z\)
-
Cho số phức \(z=a+b i \quad(a, b \in \mathbb{R})\) và thỏa mãn điều kiện \((1+2 i) z-(2-3 i) \bar{z}=2+30 i\) Tính tổng S=a+b.
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z – 6} \right| = 2\sqrt 5 \) và \({z^2}\) là số thuần ảo?
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho hai số phức z1 = 2 - 3i; z2 = 4i - 10. Số phức z = z1 – z2.
-
Gọi \(z_{1}, z_{2}\) 2 , là hai nghiệm phức của phương trình \(2 z^{2}-3 z+7=0\) . Tính giá trị của biểu thức \(P=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\)
-
Cho hai số phức \({z_1} = 4 – 3i + {\left( {1 – i} \right)^3}\) và \({z_2} = 7 + i\). Phần thực của số phức \(w = 2\overline {\overline {{z_1}} {z_2}} \) bằng
-
Cho hai số phức \({z_1} = 1 – 8i\) và \({z_2} = 5 + 6i.\) Phần ảo của số phức liên hợp \(z = {z_2} – i\overline {{z_1}} \) bằng
