Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8; 15;22; 29; ......Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là (8000 ) (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm (500 ) (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là (6000 ) (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm (7% ) giá của mét khoan ngay trước đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là (20m) và (25 m ) để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất?

Kí hiệu \(k! = k( (k - 1) )...2.1, \forall k \in N^*\). Với n thuộc N*, đặt \(S_n= 1.1! + 2.2! + ... + n.n! \). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \({x^3} - 7{x^2} + 2\left( {{m^2} + 6m} \right)x - 8 = 0.\)

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Tính (chính xác đến hàng phần trăm) khối lượng còn lại của 20 gam poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng 20 năm).

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến P( n ) đúng với mọi số tự nhiên \(n\ge p\) (p  là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:  Bước 1, kiểm tra mệnh đề P( n ) đúng với n = p.  Bước 2, giả thiết mệnh đề P( n ) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k\ge p \) và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Trong hai bước trên:

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nữa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{a{n^2}}}{{n + 1}}\) (a: hằng số); u_n+1 là số hạng nào sau đây?

Với mỗi số nguyên dương n, đặt \(S = 1^2 + 2^2+ ... + n^2\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng

Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 3 và \(15{u_1} - 4{u_2} + {u_3}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho

Cho dãy số có các số hạng đầu là 5; 10; 15; 20; ...: Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Cho dãy số (u_n) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1}\\
{{u_{n + 1}} = {u_n} + {{\left( { - 1} \right)}^{2n + 1}}}
\end{array}} \right.\). Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây? 

Cho tổng \( {S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{n}{{n + 1}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\). Mệnh đề nào đúng?

Một học sinh chứng minh mệnh đề \(''8^n + 1 \)chia hết cho \( 7,\;\forall n \in {N^{*''}}(*)\)) như sau: Giả sử (* ) đúng với n = k, tức là 8^k + 1 chia hết cho 7.  Ta có: 8^{k + 1}+ 1 = 8(8^k + 1) - 7, kết hợp với giả thiết 8^k + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8^{k + 1} + 1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi (n thuộc N*.  Khẳng định nào sau đây là đúng?

Với mọi số tự nhiên n, tổng \(S_n = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \) chia hết cho:

Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25^o. Tìm 2 góc còn lại?

Với (n thuộc N*), đặt \(T_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (2n)^2;M_n= 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + (2n)^2\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng

Với mọi số nguyên dương n, tổng \(S_n = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) \) là:

Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với n = k + 1 thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P( n ) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p ) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề P( n ) đúng với n = k Khẳng định nào sau đây là đúng?

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho \(2^{n + 1} > n^2 + 3n. \)