Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] và thỏa mãn \(f(1)=-\frac{1}{2}\) và \(f(x)+x f^{\prime}(x)=\left(2 x^{3}+x^{2}\right) f^{2}(x), \forall x \in[1 ; 2]\). Giá trị của tích phân \(\int_{1}^{2} x f(x) d x\) bằng
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ giả thiết, ta có } f(x)+x f^{\prime}(x)=\left(2 x^{3}+x^{2}\right) f^{2}(x) \Rightarrow \frac{f(x)+x f^{\prime}(x)}{[x f(x)]^{2}}=2 x+1\\ &\Rightarrow\left[\frac{1}{x f(x)}\right]^{\prime}=-2 x-1 \Rightarrow \frac{1}{x f(x)}=\int(-2 x-1) d x \Rightarrow \frac{1}{x f(x)}=-x^{2}-x+C\\ &\text { Lại có } f(1)=-\frac{1}{2} \Rightarrow C=0 \Rightarrow x f(x)=-\frac{1}{x(x+1)} \Rightarrow \int_{1}^{2} x f(x) d x=\int_{1}^{2} \frac{-1}{x(x+1)} d x\\ &=\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right) d x=\left.\ln \frac{x+1}{x}\right|_{1} ^{2}=\ln \frac{3}{4} \end{aligned}\)
