Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(\int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=14\) . Tính \(\int_{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x\)
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { +Xét } \int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=2 \text { . Đặt } u=2 x \Rightarrow \mathrm{d} u=2 \mathrm{~d} x ; x=0 \Rightarrow u=0 ; x=1 \Rightarrow u=2 . \\ \text { Nên } 2=\int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) \mathrm{d} u \Rightarrow \int_{0}^{2} f(u) \mathrm{d} u=4 \end{array}\)
\(\text { +Xét } \int_{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=14 \text { . Đặt } v=6 x \Rightarrow \mathrm{d} v=6 \mathrm{~d} x ; x=0 \Rightarrow v=0 ; x=2 \Rightarrow v=12\)
\(\text { Nên } 14=\int_{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{6} \int_{0}^{12} f(v) \mathrm{d} v \Rightarrow \int_{0}^{12} f(v) \mathrm{d} v=84\)
\(\begin{array}{l} +\text { Xét } \int_{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x=\int_{-2}^{0} f(5|x|+2) \mathrm{d} x+\int_{0}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x \\ \text { Tính } I_{1}=\int_{-2}^{0} f(5|x|+2) \mathrm{d} x \\ \text { Đặt } t=5|x|+2 . \text { Khi }-2<x<0, t=-5 x+2 \Rightarrow \mathrm{d} t=-5 \mathrm{~d} x ; x=-2 \Rightarrow t=12 ; x=0 \Rightarrow t=2 . \\ I_{1}=\frac{-1}{5} \int_{12}^{2} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{5}\left[\int_{0}^{12} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right]=\frac{1}{5}(84-4)=16 \end{array}\)
\(\begin{aligned} & \text { Tính } I_{1}=\int_{0}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x\\ &\text { Đặt } t=5|x|+2 \text { . Khi } 0<x<2, t=5 x+2 \Rightarrow \mathrm{d} t=5 \mathrm{~d} x ; x=2 \Rightarrow t=12 ; x=0 \Rightarrow t=2 \text { . }\\ &I_{2}=\frac{1}{5} \int_{2}^{12} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{5}\left[\int_{0}^{12} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right]=\frac{1}{5}(84-4)=16\\ &\text { Vây } \int_{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x=32 \text { . } \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y =f(x) thỏa mãn \(f\left(x^{3}+3 x+1\right)=3 x+2, \forall x \in \mathbb{R} . \text { Tính } I=\int_{1}^{5} x \cdot f^{\prime}(x) d x\).
-
Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = √3 , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục tại điểm có hoành độ x (\(0 \le x \le \sqrt 3 \)) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và \(\sqrt {1 + {x^2}} \)
-
Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn \(\left\{\begin{array}{c} f(x) \cdot f(a-x)=1 \\ f(x)>0, \forall x \in[0 ; a] \end{array}\right.\)và \(\int_{0}^{a} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}=\frac{b a}{c}\), trong đó b , c là hai số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó b+c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Cho f(x); g(x) là hai hàm liên tục trên đoạn [-1;1]. f(x) là hàm chẵn, g(x) là hàm lẽ . Biết \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WGMbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaeizaiaadIhacqGH % 9aqpcaaI1aaaleaacaaIWaaabaGaaGymaaqdcqGHRiI8aaaa!40EB! \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 5} \)\(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WGNbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaeizaiaadIhacqGH % 9aqpcaaI3aGaaGPaVdWcbaGaaGimaaqaaiaaigdaa0Gaey4kIipaaa % a!4279! ; \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x = 7\,} \). Mệnh đề nào sau đây sai ?
-
Biết rằng \(\smallint {e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c\) trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là
-
Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{{{e^x}.\sin x}}{{1 + \sin 2x}}dx\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;\,1} \right]\) và \(f\left( x \right) + f\left( {1 – x} \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}, \forall x \in \left[ {0;\,1} \right]\).
Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
-
Cho số thực a thỏa mãn \(\int_{-1}^{a} e^{x+1} d x=e^{2}-1\), khi đó a có giá trị bằng
-
Tính \(I=\int_{a}^{b} \frac{a-x^{2}}{\left(a+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x(\text { với } a, b\) là các số thực dương cho trước).
-
Diện tích của hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng\(x=a, x=b(a<b)\) (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức:
-
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y=\sqrt{\tan x}\) , trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=\frac{\pi}{4}\) quanh trục hoành là:
-
Một vật chuyển động trong 4 giờ với vân tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có đỉnh I(2;9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó được :
-
Tính \(I=\int_{-2}^{2}|x+1| d x\)
-
Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x \cos 2 x d x\) là
-
Tích phân \(I=\int\limits_{-1}^{0} x \sqrt[3]{x+1} d x\) có giá trị là
-
Tính diện tích S của hình phẳng (H ) giới hạn bởi đường cong \(y=-x^{3}+12 x \text { và } y=-x^{2}\)
-
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên ℝ . Biết \(f^{6}(x) \cdot f^{\prime}(x)=12 x+13 \text { và } f(0)=2\) . Khi đó phương trình \(f(x)=3\) có bao nhiêu nghiệm?
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa \(f(-x)+2 f(x)=\cos x\). Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\) là
-
Tích phân \(K = \mathop \smallint \nolimits_2^3 \frac{x}{{{x^2} - 1}}\) bằng
-
Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{2{x^3} + 7{x^2} + 3x - 1}}{{2x + 1}}dx\)
