Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R} \backslash\{0\}\) biết \(x \cdot f(x) \neq-1, \forall x \neq 0 ; \quad f(1)=-2\) và \((x \cdot f(x)+1)^{2}-x \cdot f^{\prime}(x)-f(x)=0\) với \(\forall x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\). Tính \(\int_{1}^{e} f(x) \mathrm{d} x\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Ta có }[x \cdot f(x)+1]^{2}-x \cdot f^{\prime}(x)-f(x)=0 \Leftrightarrow[x \cdot f(x)+1]^{2}=x \cdot f^{\prime}(x)+f(x) \\ \Leftrightarrow \frac{x \cdot f^{\prime}(x)+f(x)}{[x \cdot f(x)+1]^{2}}=1(\text { do } x \cdot f(x) \neq-1, \forall x \neq 0) \\ \Leftrightarrow\left(\frac{-1}{x \cdot f(x)+1}\right)^{\prime}=1 \Leftrightarrow \frac{-1}{x \cdot f(x)+1}=x+C \\ \text { Do } f(1)=-2 \text { nên } \frac{-1}{f(1)+1}=C+1 \Leftrightarrow 1=C+1 \Leftrightarrow C=0 \\ \text { Do đó } \frac{-1}{x \cdot f(x)+1}=x \Leftrightarrow x^{2} \cdot f(x)+x=-1 \Leftrightarrow f(x)=\frac{-1-x}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x} \\ \text { Suy ra } \int_{1}^{e} f(x) \mathrm{d} x=\int_{1}^{e}\left(-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\left.\left(\frac{1}{x}-\ln |x|\right)\right|_{1} ^{e}=\frac{1}{e}-2 \end{array}\)
