Cho hàm số f (x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}-1} ; f(-3)+f(3)=0 \text { và } f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=2\). Tính giá trị biểu thức \(P=f(0)+f(4)\)?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}-1} \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-1}=\int \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)(x+1)}=\left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_{1} & \text { khi } & x \in(-\infty ;-1) \cup(1 ;+\infty) \\ \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_{2} & \text { khi } & x \in(-1 ; 1) \end{array}\right.\)
\(\begin{array}{l} \text { Ta có } f(-3)+f(3)=0 \Rightarrow \frac{1}{2} \ln 2+C_{1}+\frac{1}{2} \ln \frac{1}{2}+C_{1}=0 \Rightarrow C_{1}=0 \\ \text { Và } f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=2 \Rightarrow \frac{1}{2} \ln 3+C_{2}+\frac{1}{2} \ln \frac{1}{3}+C_{2}=2 \Rightarrow C_{2}=1 \end{array}\)
Suy ra \(f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right| \quad \text { khi } \quad x \in(-\infty ;-1) \cup(1 ;+\infty) \\ \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+1 \quad \text { khi } \quad x \in(-1 ; 1) \end{array}\right.\)
\(\Rightarrow P=f(0)+f(4)=1+\frac{1}{2} \ln \frac{3}{5}\)