Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-2 ; 1\}\) thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+x-2} ; f(-3)-f(3)=0 \text { và } f(0)=\frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f(-4)+f(-1)-f(4)\) bằng ?
Suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+x-2} \\ \Rightarrow f(x)=\int \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+x-2}=\int \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)(x+2)}=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C_{1} \text { khi } x \in(-\infty ;-2) \\ \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C_{2} \text { khi } x \in(-2 ; 1) \\ \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C_{3} \quad \text { khi } \quad x \in(1 ;+\infty) \end{array}\right. \\ \text { Do đó } f(-3)-f(3)=0 \Rightarrow \frac{1}{3} \ln 4+C_{1}-\frac{1}{3} \ln \frac{2}{5}-C_{3} \Rightarrow C_{3}=C_{1}+\frac{1}{3} \ln 10 \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Và } f(0)=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{3} \ln \frac{1}{2}+C_{2}=\frac{1}{3} \Rightarrow C_{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \ln 2 \\ \Rightarrow f(x)=\left\{\begin{array}{rll} \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C_{1} \text { khi } \quad x \in(-\infty ;-2) \\ \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \ln 2 \quad \text { khi } & x \in(-2 ; 1) \\ \frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C_{1}+\frac{1}{3} \ln 10 \quad \quad \text { khi } & x \in(1 ;+\infty) \end{array}\right. \end{array}\)
\(\begin{array}{l} \text { Khi đó: } f(-4)+f(-1)-f(4)=\left(\frac{1}{3} \ln \frac{5}{2}+C_{1}\right)+\left(\frac{1}{3} \ln 2+\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \ln 2\right)-\left(\frac{1}{3} \ln \frac{1}{2}+C_{1}+\frac{1}{3} \ln 10\right) \\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \ln 2 \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x - 1\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 1\\ {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{1}^{13}{f\left( \sqrt{x+3}-2 \right)}\text{d}x\).
-
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ
thị\(y=x^{2}-4 x+6 \text { và } y=-x^{2}-2 x+6\) -
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Đồ thị hàm số y = x + x−1, trục hoành , đường thẳng x = 1 và x = 2
-
Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-2 x, y=0, x=-10, x=10\)
-
Tính \(\displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)
-
Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn [1 ; 4] đồng biến trên đoạn [1 ; 4] và thỏa mãn đẳng thức \(x+2 x \cdot f(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}, \forall x \in[1 ; 4]\). Biết rằng \(f(1)=\frac{3}{2}\) . Tính \(I=\int_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x ?\)
-
Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3} x^{2}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-x^{2}} \quad(\text { vói } 0 \leq x \leq 2)\) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng
-
Cho hàm số y=f(x) với \(f(0)=f(1)=1 \text { . Biết rằng } \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=a \mathrm{e}+b, a, b \in \mathbb{R}\) . Giá trị của biểu thức \(a^{2019}+b^{2019}\) bằng?
-
Cho Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn \(\int\limits_0^{2021} {f(x)dx = 2} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2021}} – 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left( {\ln ({x^2} + 1)} \right).dx} \)
-
Tính tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiaac6caciGGJbGaai4BaiaacohacaWG4bGa % aeizaiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaaik % daaaaaniabgUIiYdaaaa!44D6! I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\cos x{\rm{d}}x} \)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\},\) thỏa \({f}'\left( x \right)=\frac{2}{2x-1},f\left( 0 \right)=1\) và \(f\left( 1 \right)=2.\) Giá trị của biểu thức \(f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)\) bằng
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn \(f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}} \cdot \operatorname{Tính} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)?
-
Cho hàm số f(x), biết \(f’\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\ln x}}{x}{\rm{ khi }}x{\rm{ }} > {\rm{ }}0\\4{\left( {x + 2} \right)^3}{\rm{ khi }}x \le 0\end{array} \right.\) và thoả mãn f(1) = 0, f( – 1) = 1. Tính f(e) + f(0).
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = −x, y = 2x − x2 có kết quả là
-
Cho \(\int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1, \int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – 3\). Khi đó, \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Biết \(I = \int_0^\pi {\frac{{x{{\sin }^{2020}}x}}{{{{\sin }^{2020}}x + {{\cos }^{2020}}x}}} {\rm{d}}x = \frac{{{\pi ^a}}}{b} + c,\,\,\left( {a,b,c \in {\mathbb{Z}^ + }} \right).\) Tính P = a.b.c
-
Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
-
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)dx\) bằng
-
Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong y = (e+1)x; y = (ex + 1)x
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\ { - x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx+\int\limits_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}}{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}dx=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của hiệu \(a-b\) bằng
